Teorema de Cantor se supone conjunto es no vacío?

Question

El Cantor del Teorema:

Para cualquier conjunto a $X$, no es en función de $f:X\to \mathcal{P}(X)$

Mientras yo estaba mirando la prueba de esto, mi jefe decidió dejar de comprensión de la misma. Quiero decir, creo que entiendo que la prueba en sí, pero no se supone que el subconjunto de los objetos que no están definidos en la función no está vacía? Mira, creo que esto solo demuestra que ese subconjunto no tiene ningún elemento. No es derivar una contradicción a partir de un supuesto de hecho antes? Pueden ustedes ayudarme a entender?

Answer 1

No. La prueba supone nada.

Si $f\colon A\to\mathcal P(A)$ es cualquier función, $A_f=\{a\in A\mid a\notin f(a)\}$ no está en el rango de $f$.

• Si $A=\varnothing$, entonces la única función con el dominio vacío es $\varnothing$ sí, que tiene un vacío de la gama. A continuación,$A_f=\varnothing$, pero $\varnothing\notin\operatorname{rng}(\varnothing)$. Así que estamos bien.
• Si $A_f$ está vacía, por ejemplo,$f(a)=\{a\}$, entonces significa que ningún elemento se asigna al conjunto vacío. Esta es una extensión de el primer caso, donde, de hecho, ningún elemento se asigna al conjunto vacío.

En cualquier caso, está bien, ya $\varnothing$ es de hecho un subconjunto de a $A$ y, por tanto, un elemento de $\mathcal P(A)$.

Answer 2

Suponiendo que este es su formulación del Teorema de Cantor:

Para cualquier conjunto a $S$, no hay en la asignación de $S$ a su juego de poder.

o algún equivalente formulación, vamos a ver qué pasa si $S$ está vacía.

Si $S$ está vacía, es decir, de la cardinalidad de cero, entonces podemos ver que su poder establecer contiene un elemento - el conjunto vacío. Podemos ver no surjection existe de $\emptyset$ $\mathcal{P}(\emptyset)$a través de algún trabajo.

Si esto no ayuda, te sugiero actualizar tu pregunta con la formulación del Teorema de Cantor está mirando y los detalles de las pruebas que ver.