La confusión con la definición de valor medio

Question

Por alguna razón, la fórmula para la media comenzó a problemas mí:

$$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\:dx$$

La razón de esto me confunde un poco es porque cuando leí esta fórmula lo leí como: $\text{Mean} = \frac{\text{Area}}{\text{Length}}$. Me he acostumbrado a la idea de que la media es el valor promedio de un conjunto de números, por ejemplo,$\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$. Debo interpretar este valor como el promedio del área bajo una curva o como el valor promedio de un conjunto de valores de la función? Imagen de señalar mi pregunta:

Espero que me hizo mi pregunta clara :) significa siempre el valor de la igualdad de $\text{Mean} = \frac{\text{Area (or volume)}}{\text{Length}}$. La definición me confunde porque la integral no es igual a la suma de los valores de la función $f(x)$, es el área bajo la curva. Esta podría ser una pregunta muy simple, pero sin embargo me confunde x)

Answer 1

También se puede pensar en el valor de la media de $f$ $[a, b]$ como la altura promedio de $f$ en el intervalo de $[a, b]$. Es decir, $\mu$ es la única constante que (cuando se interpreta como una función constante) tiene la misma integral como $f$$[a, b]$. Igual que la media de $k$ números es el número único (cuando se interpreta como una colección de $k$ números) tiene la misma suma que la suma de los $k$ números.

Answer 2

Intentar trazar su ejemplo de $$\frac{1+2+3+4+5}{5}=\mu$$

$$\mu = \frac{1}{5-1}\int_1^5 x\:dx =\frac{12}{4}=3$$

Answer 3

Una integral es una generalización de una suma - o, más precisamente, es el límite de una suma de valores de la función, como el espaciado entre los puntos donde se muestra la función tiende a cero.

Por cierto, esta es la razón por la integral de la señal de $\int$ es una alargada $s$ - es sinónimo de la palabra en latín summa, el significado de la suma.

Voy a ser un poco impreciso aquí, como no creo que un completo tratamiento riguroso es lo que usted necesita en este momento. Pero la idea es dividir el intervalo de $[a,b]$ en una secuencia de valores

$$a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$$

y definir una suma de los valores de la función como

$$I = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) (x_{i+1} - x_i)$$

Es una suma de los valores de la función, multiplicado por la distancia entre los valores de $x_i$ (es decir, es la altura por el ancho, por lo que se puede interpretar como un área).

Como el espaciado entre los valores adyacentes de $x_i$ va a cero, el valor de la suma se aproxima al valor de la integral.

Answer 4

Considere lo que usted está viendo en la imagen se han incluido aquí. La "media" que se hace referencia es el valor medio de la función sobre el intervalo $[a,b]$. En otras palabras, la media es la respuesta a la pregunta, "Si me imaginaba el intervalo como un cubo, y la función que representa el nivel de llenado de arena cubo, ¿qué altura tendría la arena se asiente en si yo lo hice a través de la anchura de la cubeta?"

Esta interpretación también es válido en el caso discreto. Supongamos que tomó el intervalo de $a$ $b$y se divide en $n$ subintervalos de igual ancho. Para cada subinterval que es como un "sub-cubo"--me llenan de arena hasta el nivel de la función de la altura. Ahora puedo agregar el total de las alturas para cada sub-cubo y dividir por el número de cubos $n$, y me llega un promedio de altura de arena a través de todos los cubos. Si yo hago esto por muy gran $n$, el resultado se acercará a la continua, caso que he descrito anteriormente.

Answer 5

Que nos llame a $\mu$ de la media. El área de color de la imagen es igual, por definición, a $$A=\mu\times(b-a).$$ $A$ es por lo tanto el área de un rectángulo de base $(b-a)$ y la altura de la $\mu$. Si se dibuja la línea horizontal de coordinar $\mu$ en el gráfico, el exceso de zona de color por encima de la línea es igual a la incoloro área bajo la línea de (tratar de ver por qué). Esto demuestra que $\mu$ corresponde a la intuivive definición de la media.