Delimitada la variación implica la Continuidad Absoluta

Question

Problema: Vamos a $f$ ser un valor real de la función diferenciable en todas partes de la función en $[0,1]$. Si $f$ es de variación acotada en $[0,1]$, entonces es absolutamente continua en $[0,1]$.

Esto se desprende de la Banach–Zaretsky teorema del valor medio teorema, y la observación de que las funciones de Lipschitz tomar conjuntos de medida cero a medida cero.

Esto se desprende de la Banach–Zaretsky teorema, que voy a decir aquí por comodidad:

Deje $F$ ser una función de variación acotada en $[a,b]$, entonces el siguientes son equivalentes:

(i) F es absolutamente continua en $[a,b]$.

(ii) $m(A) = 0 \implies m(F(A)) = 0$ para todos los medible $A \subset [a,b]$.

La prueba de esta declaración, junto con la plantea el problema puede ser encontrada aquí.

Pregunta: El problema original apareció en un examen de calificación hace un par de meses, y estoy muy curioso por saber si hay un enfoque alternativo aquí para un alumno que podrían no haber sido consciente de Banach–Zaretsky teorema. Alguna sugerencia?

Answer 1

Si f es diferenciable en todas partes en $(0,1)$ podemos decir $$f(1)-f(0) =\int^1_0 f'(x)dx \ \ (*)$$ If we knew that $f$ is a monotone function, (*) would immediately imply that $f$ is AC. However we know that $f$ is of bounded variation, thus can be written as the difference of two monotonically increasing functions on $[0,1]$ : $$f(x)=[f(x)+{TV}(f_{[0,x]})] - TV(f_{[0,x]})$$ Where $TV(f_{[0,x]})$ is the total variation function, which is differentiable everywhere on $[0,1]$, since it is monotone on $[0,1]$ y por Lebesgue del teorema es diferenciable.