pregunta de probabilidad sobre el lanzamiento de monedas

Question

Supongamos que hay $n$ monedas en un círculo. Muestran Cara con probabilidad $1/2$ y las colas con probabilidad $1/2$ .

--Paso iterativo---

Se elige al azar una de las monedas que sale cara y se vuelve a lanzar esta moneda y sus dos vecinas (la de la derecha y la de la izquierda de ésta). La probabilidad de que cualquier moneda salga cara a partir de ahora es $p$ .

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Este procedimiento se repite.

Necesitamos encontrar la función del número esperado de iteraciones para obtener todas las colas en el círculo.

¿Puede ayudarme con esto? ¿Hay alguna forma elegante de proceder?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, sólo una nota que es demasiado larga para los comentarios.

Esto puede representarse mediante un proceso de Markov con "Todas las colas" como estado absorbente. Ser inteligente sobre cómo aprovechar la simetría en la representación de los estados probablemente puede hacer el problema un poco más fácil. Por ejemplo, cuando hay 3 monedas, sólo hay dos estados que importan: todas las colas, no todas las colas. La probabilidad de pasar al estado "todas las colas" es la misma desde cualquier estado "no todas las colas", ya que se lanzan las tres monedas de todos modos. Evidentemente, las cosas se complican mucho más a medida que aumenta el número de monedas.

Por 3 monedas:

Con la condición de no tener todas las colas en primer lugar, el número de iteraciones se distribuye geométricamente con probabilidad de éxito $(1-p)^3$ . Se necesita una media de $\frac{1}{(1-p)^3}$ iteraciones. La probabilidad de no tener todas las colas en primer lugar es $\frac{7}{8}$ por lo que el número medio de iteraciones que necesita es $\frac{7}{8(1-p)^3}$ .

Cuando $p=\frac{1}{2}$ se necesita una media de 7 iteraciones.