¿Por qué es la subcategoría que consiste simplemente conectado espacios no incluye?

Question

Deje $\mathbf{Top}_*$ ser la categoría de punta espacios topológicos y $\mathbf{Top_1}$ el total de la subcategoría de simplemente espacios conectados. $\mathbf{Top}_*$ es completa y cocomplete. Estoy tratando de mostrar que $\mathbf{Top_1}$ no es completa.

Si $X$ es simplemente conectado, pero tiene un no-trivial $\pi_2$ -, $\Omega X$ (la base de bucle espacio) no es simplemente conectado. También, $\Omega X$ es el pullback (en $\mathbf{Top}_*$) de la ruta de espacio fibration $PX \to X$ a lo largo del mapa $* \to X$. Por ejemplo, uno podría tener $X = S^2$.

Esto muestra que el pullback, si es que existe en $\mathbf{Top_1}$, no es la misma que la retirada se calcula en $\mathbf{Top}_*$.

Puedo usar esto para mostrar que la retirada de doens no existe en la $\mathbf{Top_1}$? Puedo de alguna forma demostrar que si existía, entonces, "debe ser $\Omega X$"? Tal vez uno puede considerar la relación con la subyacente conjuntos, es decir,$\mathbf{Set}$?

Answer 1

Supongamos que un diagrama de simplemente conectado señaló espacios tiene límite de $X$$\mathbf{Top}_*$. Si tiene límite de $\tilde{X}$$\mathbf{Top}_1$, entonces hay un canónica mapa de $\tilde{X}\to X$ que es el universal mapa de un simple conectado señaló espacio a $X$.

La universalización de la cobertura de $X$ (cuando existe) se acerca a este, pero el fracaso del levantamiento de los teoremas de espacios que no son localmente ruta de acceso conectado deja de funcionar.

Como se señaló en el Jack Davies comentario', $X=S^1$ es el retraso de un par de mapas de simplemente-espacios conectados. Si un mapa de $\tilde{X}\to X$ existía con la necesaria universal de los bienes, a continuación, considerando las rutas (mapas de $[0,1]$) y homotopies entre ellos (los mapas de $[0,1]\times[0,1]$) es bastante fácil ver que tendría que ser la universalización de la cobertura $\mathbb{R}\to S^1$. Sin embargo, hay mapas de $Y\to S^1$ simplemente conectado pero no localmente ruta de espacios conectados $Y$ que no levante a los mapas,$Y\to\mathbb{R}$.