Secuencia de Cauchy algún reto

Question

Leí esta frase en uno de los libros de matemáticas:

Toda sucesión convergente en un espacio métrico es una sucesión de Cauchy.

¿podría alguien añadir más detalles, por qué esto es cierto?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Tomemos una secuencia convergente, por ejemplo $(x_n) \subset X $ . Por comodidad, escribiré la métrica de $X$ como: $d( x, y ) = |x-y| $ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que estamos en un espacio métrico arbitrario, y que estoy utilizando la métrica estándar sólo por conveniencia. Ahora bien, como $(x_n)$ es convergente (Say $x_n \to x$ ) sabemos que para un determinado $\epsilon > 0$ podemos elegir $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $n \geq N$ tenemos

$$ |x_n - x | < \epsilon/2 $$

En particular, esto también es válido para cualquier $m > N$ :

$$ |x_m - x| < \epsilon/2 $$

Ahora, utilizando la desigualdad del triángulo ( $|a+b| \leq |a| + |b| $ ), tenemos

que para cualquier $n,m > N$ ,

$$ |x_m-x_n| = |x_m - x + x - x_n| \leq |x_m - x| + |x-x_n| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$$

Por lo tanto, por definición $(x_n)$ debe ser cauchy.

Answer 2

Supongamos que $\;x_n\xrightarrow[n\to\infty]{}x\;$ y que

$$\;\epsilon>0\implies \;\exists\,N_\epsilon\in\Bbb N\;\;\text{such that}\;\;n>N_\epsilon\implies d(x_n,x)<\frac\epsilon2$$

por lo tanto, para $\;n,m>N_\epsilon\;$ obtenemos

$$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x)+d(x,x_m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon\implies$$

$\;\{x_n\}\;$ es Cauchy.

Answer 3

Sea d la métrica y la secuencia $a_1, a_2, ...$ converge a $a$ , lo que significa que
Para un determinado $\epsilon>0$ existe N tal que $n\geq N$ implica $d(a_n,a)<\epsilon/2$
Para ese N, si $n\geq N$ y $m\geq N$ tenemos $d(a_n,a_m)\leq d(a_n,a)+d(a,a_m)<2\cdot\epsilon/2=\epsilon$ por lo tanto la secuencia es Cauchy.