Ecualizadores en CRing

Question

Este es un seguimiento a esta pregunta de Martin de Brandeburgo.

Deje $B$ ser un anillo (en este post "anillo" significa "anillo conmutativo con $1$") y $A$ un sub-anillo.

Decimos que $A\subset B$ es un ecualizador si hay dos morfismos de anillos de $B$ $C$que coinciden precisamente en $A$.

(También se dice que el $A\subset B$ es un kernel, o que $A\to B$ es regular, pero me parece que la frase "es un ecualizador" más descriptivo.)

Como ha señalado Martin, esto es equivalente a la condición de que $b\in B$ $b\otimes 1=1\otimes b$ $B\otimes_AB$ implican $b\in A$.

Como también se ha señalado por Martín, $A\subset B$ es un ecualizador si $B$ es fielmente plana por $A$. (Esto se deduce de la Proposición 13, Capítulo 1, Sección 2, Inciso 11, y de la Proposición 13, Capítulo 1, Sección 3, Subsección 6 de Nicolas Bourbaki, Algèbre conmutativa: Chapitres 1 a 4, Masson, París, 1985. Subquestion: ¿hay mejor las pruebas?)

La siguiente pregunta parece inevitable:

Es $A\subset B$ un ecualizador si y sólo si el functor $B\otimes_A-\ $ refleja exactitud?

La frase "$B\otimes_A-\ $ refleja exactitud", significa: Si $M\to N\to P$ es un complejo de $A$-módulos y si $B\otimes_AM\to B\otimes_AN\to B\otimes_AP$ es exacta, entonces $M\to N\to P$ es exacta.

Aquí es un nano-respuesta: se supone que todos los máximos ideales de la $A$ son principales, que $B$ es plano sobre a $A$ y $A\subset B$ es un ecualizador. A continuación, $B$ es fielmente plana por $A$.

Prueba. Si $B$ no fue fielmente plano, por Etiqueta 00HP en las Pilas de Proyecto, no sería un ideal maximal $(a)$ $A$ tal que $aB=B$, $a$ es una unidad de $B$. En $B\otimes_AB$ obtendríamos $$ 1\otimes a^{-1}=a^{-1}\otimes a^{-1}=a^{-1}\otimes aa^{-1}=a^{-1}\otimes1. $$

(Subquestion: Si todos los máximos ideales de la $A$ son principales, no se sigue que la $A$ es uno de los principales ideales del anillo?)

Para obtener un ejemplo de un ecualizador $A\subset B$ donde $B$ no es plana por $A$, consideran que la inclusión $\mathbb Z\subset\mathbb Z\times\mathbb Z/(2)$. Está claro que $(\mathbb Z\times\mathbb Z/(2))\otimes_{\mathbb Z}-\ $ refleja exactitud.

El co-ecualizadores en CRing son precisamente los surjective epimorphisms. Por ejemplo, $\mathbb Z\to\mathbb Q$ es un monomorphism y un epimorphism, pero ni es un isomorfismo, ni un ecualizador, ni un surjection, ni un co-ecualizador. Por otra parte $\mathbb Q$ es plano, pero no fielmente plana,$\mathbb Z$, e $\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}-\ $ no refleja exactitud.

EDIT. Otra pregunta:

Es la composición de dos regulares monomorphisms regular monomorphism?

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial.

Vamos a mantener la notación en la pregunta, y añadir la convención de que todo tensor de productos se han tomado más de $A$.

Yo reclamo:

Si $B\otimes-\ $ refleja exactitud, a continuación, $A\subset B$ es un ecualizador.

Deje $A\subset B$ ser arbitraria inclusión de los anillos. Esto es suficiente para demostrar

$(1)\ A\subset B$ es un ecualizador si y sólo el complejo de $A\xrightarrow\iota B\xrightarrow fB\otimes B$ donde $\iota$ es la inclusión y $f$ los morfismos $b\mapsto b\otimes1-1\otimes b$, es exacta.

$(2)$ El complejo $$ B\xrightarrow{B\otimes\iota}B\otimes B\xrightarrow{B\otimes f}B\otimes B\otimes B $$ es exacto.

Como se observa en la pregunta, $(1)$ mantiene.

Para demostrar $(2)$, vamos a $\sum b_i\otimes b'_i$$\ker(B\otimes f)$. Tenemos
$$ \sum\ b_i\otimes\Big(b'_i\otimes1-1\otimes b'_i\Big)=0.\label3\tag3 $$ Basta para mostrar $$ \sum b_i\otimes b'_i=(B\otimes\iota)\left(\sum b_ib'_i\right). $$ Esta igualdad se reduce primero a $$ \sum b_i\otimes b'_i-\sum b_ib'_i\otimes1=0, $$ y, a continuación, a $$ \sum\ b_i\ \Big(1\otimes b'_i-b'_i\otimes1\Big)=0. $$ Pero esto se desprende de $(\ref3)$.