Existe este problema en Goldstein (Mecánica Clásica) derivaciones de la sección:
5. Dos ruedas de radio $a$ están montados en los extremos de un eje común de la longitud de la $b$ de manera tal que las ruedas giran de forma independiente. La combinación de los rollos sin resbalar sobre un plano. Muestran que hay dos nonholonomic ecuaciones de restricción,
$$\begin{align} \cos\theta dx + \sin\theta dy &= 0 \\ \sin\theta dx - \cos\theta dy &= \frac{1}{2}a(d\phi + d\phi'), \end{align}$$
(donde $\theta$, $\phi$, y $\phi'$ tienen significados similares a los que en el problema de una sola vertical del disco, y $(x,y)$ están las coordenadas de un punto sobre el eje a mitad de camino entre las dos ruedas) y una holonomic ecuación de restricción,
$$\theta = C - \frac{a}{b}(\phi - \phi'),$$
donde $C$ es una constante.
Y aquí está la imagen de el problema con una sola vertical del disco:
Ahora, creo que he logrado derivadas de las ecuaciones de dos de esas restricciones, pero voy a escribirlo de todas maneras, en caso de que mi razonamiento es de alguna manera incorrecta o demasiado descuidado. (Yo uso las etiquetas de $1$ $2$ para las ruedas, en lugar de primera calidad y en óptimas condiciones.)
$$\dot{x} = v \sin{\theta}$$
$$\dot{y} = -v \cos{\theta}$$ $$\implies \color{red}{\cos{\theta} \, dx + \sin{\theta} \, dy = 0}$$ Y el segundo: Por la rotación de las ruedas sobre el punto medio de la $(x,y)$, el ángulo de $\theta$ cambios que $$d \theta = \frac{2}{b} \, dl$$ where $dl$ is the length of the arc swept by both wheels, satisfying $$dl = v_1 \, dt = - v_2 \, dt$$ debido a que las ruedas giren con anti-paralelo velocidades. $$ dl = v_1 \, dt = a \frac{d \phi_1}{dt} \, dt = a \, d\phi_1$$ $$ dl = -v_2 \, dt = -a \frac{d \phi_2}{dt} \, dt = -a \, d\phi_2$$ $$\implies \color{red}{d\theta = -\frac{a}{b} (d \phi_1 - d \phi_2) },$$ lo que implica la holonomic de la restricción de la ecuación, con volteado de signos. (Supongo que acaba de recoger de etiquetas diferentes, ¿verdad?)
¿Cómo puedo obtener el último? Yo no tengo mucha experiencia con este tipo de problemas, así que me preguntaba, ¿hay una manera sistemática para acercarse a ellos o es siempre sólo la piratería en el problema, con la esperanza de sacar la restricción de ecuaciones?
P. S. Mi pregunta tengo editado debido a razones de política según la cual no puedo hacer algunas preguntas, así que me gustaría decir que no quiero saber si mi razonamiento es correcto para la derivación de las dos primeras restricciones. :)
EDITAR, POR FAVOR LEA: Aunque me respondió a mi pregunta sobre el problema específico que se mencionan aquí, si alguien ofrece una buena respuesta en una forma sistemática para derivar ecuaciones de restricción, voy a aceptar que responder en su lugar.
