Identifyng objetos en una categoría

Question

Es allí una manera general de identificación de objetos en una categoría para producir una nueva categoría? Algo así como un cociente de la relación con los objetos. ¿Cómo sería la morfismos comportarse?

Answer 1

No es difícil calcular algunos ejemplos de estos cocientes. Definir $C/\sim$ a el universal la categoría con un functor de $C$ que está bien definido en $~$-clases de equivalencia. Esto implica un colimit condición en la morfismos. Por ejemplo, si $C$ tiene dos objetos distintos, cada uno con endomorphisms $\mathbb{Z}$ y no morfismos entre ellos, el universal categoría de la identificación de los dos objetos de $C$ es la categoría con un objeto y endomorphisms $F_2$, la libre grupo de dos letras. Si en lugar de $C$ tenía sólo una de morfismos entre dos objetos, y no endomorphisms pero la identidad, entonces la identificación de los dos objetos produciría $\mathbf{N}$. Para obtener morfismos entre los distintos objetos de $[A],[B]$$C/\sim$, tendría que tomar todos los morfismos $A'\sim B'$$A\sim A',B\sim B'$$C$, con una composición libre de la ley, el modulo de las relaciones provenientes de $C$. Obviamente, esto es incompleta, pero no veo ningún impedimento para la construcción-ni ninguna esperanza de que usted sería capaz de calcular cualquier cosa de interés en un número significativo de casos.

Answer 2

Sí, de hecho hay. Existe una noción de una generalizada de congruencias, que es una relación de equivalencia sobre los objetos y secuencias de morfismos. El concepto fue introducido por primera vez en la Generalizada congruencias - Epimorphisms en $\mathbf{Cat}$ por Marek A. Bednarczyck, Andrzej M. Borzyszkowski y Wieslaw Pawlowski (he encontrado la notación de Emanuel Haucourts Categorías de componentes y bucles categorías más fácil de leer, aunque). Estos generalizada congruencias aparecen de forma natural a la hora de calcular ciertos colimits en $\mathbf{Cat}$, en particular coequalizers, que se describe en la primera referencia.

Si estás interesado en los cocientes por el grupo de acciones, es posible que quieras buscar en el Grupo de acciones en el posets por Eric Babson y Dmitry Kozlov.

Answer 3

Hay una noción de cociente de la categoría, pero se trata de la identificación de conjuntos de morfismos, y no de los objetos.

Si $\mathcal{C}$ es una categoría, entonces podemos definir una relación de congruencia $R$ $\mathcal{C}$ a ser una familia de las relaciones de equivalencia $R_{x,y}$ $\hom_\mathcal{C}(x,y)$ donde $x,y$ son objetos en $\mathcal{C}$, de tal forma que si $f_1,f_2:x\rightarrow y$ son dos morfismos en $\hom_\mathcal{C}(x,y)$ tal que $(f_1,f_2)\in R_{x,y}$ $g_1,g_2:y\rightarrow z$ son dos morfismos en $\hom_\mathcal{C}(y,z)$ tal que $(g_1,g_2)\in R_{y,z}$, $(g_1\circ f_1), (g_1\circ f_2), (g_2\circ f_1), (g_2\circ f_2)$ todos los $R_{x,z}$.

A continuación, se define el cociente de la categoría $\mathcal{C}/R$ como la categoría cuyos objetos son los de $C$ y cuyos morfismos son las clases de equivalencia de morfismos en $C$. La composición de dos clases de equivalencia se define el componente de sabio (es decir,$[f]\circ [g]=[f\circ g]$). La identidad de morfismos en $\hom_{\mathcal{C}}(x,y)$ es la clase de equivalencia que contiene la identidad de morfismos en $\hom_{\mathcal{C}/R}(x,y)$. Es fácil de comprobar por los requerimientos de las relaciones de equivalencia $R_{x,y}$ que estas definiciones satisfacer las leyes necesarias para hacer de $\mathcal{C}/R$ dentro de una categoría.

La identificación de los objetos sería difícil, porque no ser inmediatamente obvio cómo hacer que la relación funcione bien con los morfismos, y no hay problemas con la composición (al menos, con ser significativa; usted podría deshacerse de la no-identidad de morfismos por completo o hacer composiciones formales).

Answer 4

Puede ser más conveniente para identificar sólo ellos hasta el isomorfismo , es decir, una receta para construir un 'cociente' que 'identifica objetos' es añadir nuevos morfismos de su categoría así como para hacer que los dos objetos isomorfo.

Answer 5

Tu pregunta no tiene demasiado sentido, categóricamente hablando. Eso es porque las categorías son básicamente colecciones de morfismos obedecer ciertas reglas de composición (véase, por ejemplo, la definición dada aquí, o "flecha sólo las categorías de" en MacLane'CWM). Los objetos son una "reflexión" y corresponden a la identidad morfismos. Así , en esta luz, su pregunta es: ¿se pueden identificar y combinar identidad morfismos? Pero las diferentes identidades son sólo morfismos que no tienen ni punta ni cola en común, así que es un poco "rara", tratando de identificar a los/combinación de ellos. ¿Qué otros morfismos que no tienen ni punta ni cola en común, por ejemplo?

Lo que es interesante en su lugar, y se hace con congruencias - como se explicó Hayden en su respuesta - es el identificar y combinar morfismos que tienen ambos de la punta y la cola en común (es decir. pertenecen a la misma Hom conjunto).

Generalmente hablando, cuando tratando de idear/entender una nueva construcción en la categoría de teoría, primero probar a ver si tiene sentido con morfismos y la composición de morfismos, entonces automáticamente se pondrá sentido con los objetos, dado que los objetos no son sino un tipo especial de morfismos (identidad morfismos).