Cómo derivar la ecuación de Kepler?

Question

El Internet no tiene, que yo sepa, una derivación de la ecuación de Kepler

$$ M = E - E\text{pecado}(E) $$

donde $M$ es la media anomalía, $E$ la anomalía excéntrica e $e$ la excentricidad.

Desde que existe la correspondiente imagen geométrica (un círculo que circunscribe la elipse se visualice la E y M), yo creo que no sería una prueba geométrica. ¿Alguien sabe cómo hacerlo?

Answer 1

Yo tenía una relacionada con la pregunta en la que yo, básicamente derivado de la ecuación sin que me de cuenta.

Para esto me hizo suponer que la siguiente relación entre el radio, $r$, y la verdadera anomalía, $\theta$, es correcto, $$ r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}} $$ con $a$ el semi-eje mayor y $e$ la excentricidad.

Mediante el uso de Kepler de segunda y tercera ley, usted puede obtener una expresión para el tiempo (desde el periapsis pasaje) como una función de la verdadera anomalía, que tiene este aspecto: $$ t(\theta)=\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\cos{\theta}}\right) $$ Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Kepler, debido a que la media y excéntrico anomalía se definen como sigue: $$ M=t\sqrt{\frac{\mu} {^3}} $$ $$ \bronceado{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\bronceado{\frac{E}{2}} $$ Un par de sustituciones son fáciles de ver, es decir, cómo conseguir $M$ en el lado izquierdo, dividiendo por $\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$, y de cómo obtener el término lineal de $E$, lo que permite utilizar para obtener la siguiente ecuación: $$ M=E-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\cos{\theta}} $$ Corrección de que el resto del tiempo se puede expresar como un producto de la sinusoidal de $E$ y la excentricidad $e$ es más difícil, por lo que $$ \sin{E}=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \ \cos{\theta}} $$

Con el uso de una variable temporal es posible la prueba de esto. Esta variable, vamos a llamarlo $\alpha$, se define como sigue,

$$ \alpha = \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\bronceado{\frac{E}{2}}. $$

De esta manera la trigonometría en términos de la fracción se convierte en:

$$ \sin \theta = \sin \left( 2 \bronceado^{-1} \alpha\right) = \frac{2\alpha}{1+\alpha^2} $$

$$ \cos \theta = \cos \left( 2 \bronceado^{-1} \alpha\right) = \frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2} $$

La sustitución de estos elementos a la fracción de los rendimientos:

$$ \frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \ \cos{\theta}} = \frac{\sqrt{1-e^2}\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}}{1+e\frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}} = \frac{2\sqrt{1-e^2}\alpha}{1+e+(1-e)\alpha^2} $$

Ahora sustituyendo en la expresión para $\alpha$ que es una expresión de $E$ le da:

$$ \frac{2\sqrt{1-e^2}\alpha}{1+e+(1-e)\alpha^2} = \frac{2\sqrt{(1+e)(1-e)}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}}{1+e+(1-e)\left(\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}\right)^2} = \frac{2(1+e)\bronceado{\frac{E}{2}}}{(1+e)\left(1+\tan^2{\frac{E}{2}}\right)} $$

En esta última expresión de la dependencia de la excéntrica, $e$, se puede quitar, lo que produce,

$$ \frac{2\bronceado{\frac{E}{2}}}{1+\tan^2{\frac{E}{2}}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{1+\frac{\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{\frac{\cos^2(E/2)+\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = 2\sin\frac{E}{2}\cos\frac{E}{2}=\pecado E $$

Por lo tanto, se puede demostrar que:

$$ \frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \ \cos{\theta}}=\sin{E} $$