Deje $p$ ser el primer número y $n$ ser enteros positivos, $$p\mid n^3+n^2-2n-1, \quad n\ge 2$$ mostrar que $$7\mid p^3-p$$
Tal vez puede utilizar de Fermat poco teorema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Per Hornshøj-Schierbeck
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La expansión de mis comentarios. Quiero en primer lugar dar una respuesta fuertemente el uso de la maquinaria de la algebraicas-número-de la teoría. Ese argumento se basa en la teoría de la división de números primos en cyclotomic campos y sus subcampo, en especial a la identificación de la acción de la Frobenius automorphism que es particularmente fácil en un cyclotomic campos.
Tras esa respuesta, yo también le doy otra respuesta con menos tecnología - la sustitución del uso de cyclotomic campos con algunos hechos básicos sobre campos finitos. Algunos lectores pueden beneficiarse de la lectura de la segunda respuesta en primer lugar, y luego regresar a la primera (que siempre están en todos los familiarizados con la teoría algebraica de números). La razón por la que ordenó a las respuestas de esta manera es mi forma de manejo de Bill Dubuque del comentario. De lo contrario, la clave de la ecuación que se utilizó en la segunda respuesta que parece que salió de una caja mágica.
De hecho, creo que puede ser una forma de reemplazar el uso de campos finitos en mi segunda respuesta con un Poco de Fermat (o algo parecido a eso). No tengo una buena manera de hacer que yo (me han hecho un poco de progreso y todavía estoy pensando...). Con la primera respuesta:
Deje $\zeta=e^{2\pi i/7}$ ser una primitiva séptima raíz de la unidad, cuando $2\cos(2\pi/7)=\zeta+\zeta^{-1}$. Sabemos que $m(x)=(x^7-1)/(x-1)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ es el polinomio mínimo de a $\zeta$. Denotando $f(x)=x^3+x^2-2x-1$, vemos que $$ \begin{aligned} f(\zeta+\zeta^{-1})&=(\zeta+\zeta^{-1})^3+(\zeta+\zeta^{-1})^2-2(\zeta+\zeta^{-1}-1\\ &=\sum_{j=-3}^3\zeta^j=\frac{m(\zeta)}{\zeta^3}=0. \end{aligned} $$ Por lo tanto, $f(x)$ es el polinomio mínimo de a $2\cos(2\pi/7)$.
Por último, vamos a $L=\Bbb{Q}(\zeta)$, $K=\Bbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1})$ ser el campo de las extensiones. Para una racional prime $p\neq7$ sabemos que la correspondiente Frobenius automorphism $\sigma_p$ $Gal(L/\Bbb{Q})$ está determinada únicamente por el requisito de $\sigma_p(\zeta)=\zeta^p$. Suponga que $n$ es un número entero tal que $p\mid f(n)$. Esto significa que la norma $N_K(z)$ de la algebraicas entero $z:=n-(\zeta+\zeta^{-1})\in K$ es divisible por $p$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $0<n<p$ lo que implica que la norma tiene valor absoluto $<p^3$. Debido a $K/\Bbb{Q}$ es cúbico cíclico de extensión, esto obliga a que el primer $p$ a dividir en un producto de tres distintas primer ideales de $\mathcal{O}_K$, $p=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3$, cada uno con la inercia grado $f(\mathfrak{p}_i\mid p)=1$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $\mathfrak{p}_1=(p,n-(\zeta+\zeta^{-1})$, $\mathfrak{p}_2=(p,n-(\zeta^2+\zeta^{-2})$, $\mathfrak{p}_3=(p,n-(\zeta^3+\zeta^{-3})$. La información sobre el grado de inercia es importante aquí. Al $f=1$ sabemos que la Frobenius automorphism debe mapa de $\mathfrak{p}_1$ a (y de inducir la asignación de identidad en el residuo de campo de la clase de $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_1$. En particular, $z$ debe ser un punto fijo de $\sigma_p$. Pero $$ z=\sigma_p(z)=n-(\zeta^p+\zeta^{p}) $$ si y sólo si $p\equiv\pm1\pmod7$. Esto implica que $7\mid p^2-1$. Teniendo en cuenta la posibilidad de $p=7=f(2)$ vemos que siempre tenemos $7\mid p(p^2-1)$.
A continuación, el mismo en el lenguaje de campos finitos, pero sin un semestre de la pena de la teoría algebraica de números.
Suponga que el primer $p\neq7$ y $n$ es un número entero tal que $p\mid f(n)$. Debido a $\gcd(n,f(n))=1$ se sigue que $n$ no es divisible por $p$. También podemos concluir que el $n$ no es congruente a $2$ modulo $p$, debido a que, a continuación, $n^3+n^2-2n-1$ sería congruente a $2^3+2^2-2\cdot2-1=7$ modulo $p$ contradiciendo la suposición $p\neq7$.
Considere la ecuación $$ x+\frac1x=n\qquad(*) $$ sobre el campo $K=\Bbb{F}_p$. Deje $\alpha$ ser una solución de $(*)$ en algunos extensión del campo de $K$. Debido a $n\not\equiv2,0\pmod p$ podemos concluir que $\alpha\neq1_K,0_K$. Pero $$ \begin{aligned} &\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1+\alpha^{-1}+\alpha^{-2}+\alpha^{-3}\\ =&(\alpha+\alpha^{-1})^3+(\alpha+\alpha^{-1})^2-2(\alpha+\alpha^{-1})-1\\ =&(n^3+n^2-2n-1)\cdot 1_K\\ =&0_K. \end{aligned} $$ Multiplicando esto por $\alpha^3$ da $$ 0=1+\alpha+\alpha^2+\cdots+\alpha^6=\frac{\alpha^7-1}{\alpha-1}, $$ como $\alpha-1\neq0$. Por lo tanto, $\alpha^7=1$ $\alpha$ ha multiplicativo orden de $7$.
Pero $(*)$ es una ecuación cuadrática por lo $\alpha$ pertenece a la extensión cuadrática $\Bbb{F}_{p^2}$. Su multiplicativo grupo es conocido por ser cíclico de orden $p^2-1$, por lo que podemos concluir que $7\mid p^2-1$.
Incluso en el caso de $p=7$ nos han vuelto a demostrar que en todos los casos $7\mid p^3-p$.
Esperemos que está claro que en la segunda solución, $n$ desempeña el papel desempeñado por $2\cos(2\pi/7)$ en la primera solución, mientras $\alpha$ gestiona las tareas de $\zeta$.
