¿Por qué $e^{-(x^2/2)} \approx \cos[\frac{x}{\sqrt{n}}]^n$ presionado por un gran $n$?

Question

¿Por qué hace esto: $$ e^{-x^2/2} = \lim_{n \to \infty} \cos^n \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right) $$

No estoy seguro de cómo resolver este usando el teorema del límite.

Answer 1

En una vecindad del origen, $$\log\cos z = -\frac{z^2}{2}\left(1+O(z^2)\right)\tag{1} $$ por lo tanto para cualquier $x$ cualquier $n$ bastante grande: $$ \log\left(\cos^n\frac{x}{\sqrt{n}}\right)=-\frac{x^2}{2}\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\tag{2}$$ y el reclamo de la siguiente manera por exponentiating $(2)$: $$ \cos^n\frac{x}{\sqrt{n}} = e^{-x^2/2}\cdot\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right).\tag{3}$$

Answer 2

$$ \begin{align} \cos^n\!\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) &=\left(1-\sin^2\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right)^{n/2}\\ &=\left(1-\frac{x^2}n\color{#C00000}{\left[\frac{\sin\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{x}{\sqrt{n}}}\right]^2}\right)^{n/2}\\ \end{align} $$ Desde $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{x}{\sqrt{n}}}=1 $$ podemos elegir un $n$ suficientemente grande como para que la expresión en rojo es lo más cercano a $1$ como se desee. Por lo tanto, debido a $e^x$ es continua para todos los $x$, obtenemos $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\cos^n\!\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) &=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{x^2}n\right)^{n/2}\\[6pt] &=e^{-x^2/2} \end{align} $$

Answer 3

$\cos(x)$ es la función característica de una firma de Bernoulli.

Answer 4

No tan elegante como el de Jack respuesta, pero reescribir el límite como

$$\lim_{n\rightarrow \infty} e^{\dfrac{\ln(\cos(x/\sqrt{n}))}{1/n}}$$

y el uso de la continuidad de $e^x$ para realizar l'Hospital de la regla dos veces.