Cómo encontrar el último dígito de $37^{100}$

Question

Actualmente estoy trabajando en algo de álgebra y estoy estudiando el capítulo de módulo de mi libro. Una pregunta fue encontrar el último dígito de:

$$37^{100}$$

Dan una pista sobre cómo debe ser la solución para calcular un resto...

¿Hay alguna solución fácil para esto?

Sé que hay una solución de sólo encontrar el patrón del último dígito de $ 37^x$ . Pero no entiendo que tiene que ver eso con calcular un resto....

Gracias.

Answer 1

Le site último dígito de $37^{100}$ es el mismo que el último dígito de $7^{100}$ o de $492038497^{100}$ .

Al multiplicar dos números enteros positivos, el último dígito del producto depende de esos dos enteros sólo a través de sus últimos dígitos . Eso te resultará obvio si te fijas en cómo te decían que multiplicaras números a mano en tercero o cuarto de primaria o cuando fuera: $$ \begin{array}{rrrrrrrrrr} & & & 4 & 2 & 7 \\ & & \times & 3 & 1 & 9 \\ \hline & & \bullet & \bullet & \bullet & 3 \\ & & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \hline \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & 3 \end{array} $$ ¿Dónde fue la última $3$ ¿De dónde viene?

Ahora multiplica $7$ y descartar todos los dígitos menos el último: \begin{align} 7 \times 7 & & & = \cdots\ 9 \\ 7 \times 7 \times 7 & = (\cdots\ 9\times 7) & &= \cdots \bullet \\ 7 \times 7 \times 7 \times 7 & = (\cdots \bullet\times 7) & & = \cdots \bullet \\ 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 & = (\cdots \bullet\times 7) & & = \cdots\bullet \\ \end{align} Desecha todos los dígitos menos el último en cada paso.

Ahora fíjate en algo: sólo hay $9$ dígitos que podrían aparecer como último dígito (no se puede obtener $0$ cuando multiplicas dígitos distintos de cero). Eso significa que no puedes seguir obteniendo allí nuevos dígitos que no hayas visto antes.

Todo esto le llevará a ver un patrón que se produce al continuar el proceso. Y verá por qué que sucede. Y eso te llevará rápidamente a la respuesta.

Answer 2

Desde $37^2=1369$ entonces $$37^{100}=(37^2)^{50}=(1369)^{50}$$ y el último dígito de $(1369)^{n}$ oscila entre $9$ si $n$ impar y $1$ si $n$ incluso.

Answer 3

Se trata de una pregunta sobre el cálculo del módulo 10. Así que el último dígito de $37^{100}$ es el mismo que el último dígito de $7^{100}$ que coincide con el último dígito de $49^{50}$ y, por tanto, igual que el último dígito de $9^{50}$ . Tal vez pueda continuar a partir de ahí.

Answer 4

CONSEJO

Quieres calcular el resto después de dividir por $10$ . También es bueno saber que $37^2$ tiene resto $9$ después de dividir por $10$ que puede escribirse como $37^2 \equiv -1 \pmod{10}$ .

Answer 5

Se encuentra el módulo de $37^{100}$ en decimal, observando que en decimal, todo lo que se eleva a la cuarta potencia debe terminar en $0$ , $1$ , $5$ o $6$ . Cuando se suman varias potencias de 5, entonces el número debe ser adyacente a un múltiplo de $5*5^n$ donde $5^n$ divide el índice.

Por lo tanto, buscamos soluciones que terminen en cualquiera de estos tres dígitos: $000$ , $001$ , $625$ o $376$ dependiendo de cuál sea el divisor común con 10. Aquí es 1, por lo que termina en $001$ .