Irreductibilidad de un cúbicos en $\mathbb{Q}[X]$

Question

Problema

Mostrar que $$X^3-2008X^2+2010X-2009$$ is irreducible in $\mathbb{Q}[X]$.

El progreso

He considerado que la aplicación de Eisenstein del Teorema, pero no hay números primos $p$ tal que $p|2008$, $p|2009$ y $p|2010$. (Esto es muy claro en cuanto a $\nexists p$ primer tales que p divide números enteros consecutivos para cualquier elección de p.)

Creo que esto puede requerir una aplicación de Gauss, Lema, pero estoy todavía con éxito lo demuestran. Cualquier ayuda se agradece.

Saludos.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Por el lema de Gauss, si $\rm\:f(x)\:$ se divide $\rm\:\mathbb Q\:$ a continuación, se divide $\rm\:\mathbb Z\:,\:$ por lo tanto se divide $\rm\:\mathbb Z/3\:,\:$ contra $\rm\ f(x)\ \equiv\ x^3-x^2+1\ $ no tiene raíces $\rm\ mod\ 3\:.$

COMENTARIO $\ $ Lema de Gauss, es un poco excesivo para ello. Pero es trivial demostrar que el simple monic caso:

LEMA $\rm\ \ f\ g\in \mathbb Z[x]\ \Rightarrow\ g \in \mathbb Z[x]\ \ \ if\ \ \ g\in \mathbb Q[x],\ \ monic\ f\in \mathbb Z[x]$

Prueba de $\ $ Escritura $\rm\ g = c\ x^n + g'\:,\ \ deg\ g' < deg\ g = n\:.\ $ Desde $\rm\:f\:g \in \mathbb Z[x]\:$ su ventaja coef $\rm\:c\in\mathbb Z\:.\:$ $\rm\:f\ g' =\: f\ g - c\ x^n\:f\: \in\: \mathbb Z[x]\:,\:$ $\rm\:g'\in \mathbb Z[x]\:$ por inducción en deg $\rm\:g\:,\:$ $\rm\ g = c\ x^n + g'\in \mathbb Z[x]\:.\: $ QED

Answer 2

Desde el polinomio es un cúbicos, si es que puede ser trivial factorizada, entonces uno de los factores debe ser lineal. Por lo que es suficiente para mostrar que el polinomio no tiene raíces racionales. A partir de la raíz racional teorema, cualquier racional de la raíz también debe ser un entero. Por otra parte, debe ser un divisor de a $2009$, es decir, uno de $\{ 1, 7, 41, 49, 287, 2009 \}$. [Podemos descartar que los números negativos debido a que el polinomio es estrictamente negativo para $X < 0$.] Por lo tanto, para probar que el polinomio es irreducible, es suficiente para comprobar que ninguno de estos $6$ números es una raíz del polinomio.