¿Existe algún conmutador inverso para matrices

Question

Mi pregunta es muy sencilla. Dada una matriz real simétrica $A$ y una matriz real cuadrada $C$ ¿cómo se puede resolver la ecuación $[A,X]=C$ donde $[A,B]$ es conmutador de $A$ y $B$ es decir, $[A,B]=AB-BA$ . Nos interesan más las matrices simétricas para $X$ .

Gracias.

Actualización : El planteamiento de Uranix en su última edición es una gran solución. Dado que es de forma cerrada suficiente, se puede utilizar para demostrar cualquier propiedad de interés para su aplicación como fue el caso para mí. Tnx

Answer 1

Sea $\operatorname{spectrum}(A)=(\lambda_i)_i$ y $f:A\rightarrow I\otimes A-A^T\otimes I$ . Entonces $\operatorname{spectrum}(f)=\{\lambda_i-\lambda_j\mid i,j\}$ . Supongamos que estamos en el caso genérico, lo que implica que el $(\lambda_i)_i$ son distintos por pares. Así, $\dim(\ker(f))=n$ y $\dim(\operatorname{im}(f))=n^2-n$ . Así pues, existen soluciones en $X$ si $C$ está en la ortogonal de $\ker(f)$ (en un sentido por definir); en particular, una condición necesaria es $\operatorname{tr}(C)=0$ .

Answer 2

No estoy seguro de que exista una respuesta cerrada, pero $$ AX-XA = C $$ es un sistema lineal de $n\times n$ ecuaciones de $n \times n$ desconocidos.

Un enfoque consiste en utilizar el vectorización operador $$\operatorname{vec} X = \begin{pmatrix} x_{11}\\ x_{21}\\ \vdots\\ x_{n1}\\ x_{12}\\ \vdots\\ x_{nn} \end{pmatrix}$$ Utilizando Producto de Kronecker $$ \operatorname{vec} (AXB) = (B^\top \otimes A) \operatorname{vec} X $$ el sistema se convierte en $$ (I \otimes A - A^\top \otimes I)\operatorname{vec} X= \operatorname{vec} C\\ \operatorname{vec} X = (I \otimes A - A^\top \otimes I)^{-1}\operatorname{vec} C \mkern{-227mu}\frac{\phantom{\operatorname{vec} X = (I \otimes A - A^\top \otimes I)^{-1}\operatorname{vec} C}}{\phantom{b}} $$

Editar . Como amablemente señaló @loup blanc la matriz $I \otimes A - A^\top \otimes I$ es siempre degenerada por lo que no hay solución a la ecuación o el número de soluciones es infinito.

Otro enfoque puede ser el siguiente: dejemos que $\Omega \Lambda \Omega^{-1}$ sea la eigendecomposición para $A$ . $$ [A,X] = \Omega \Lambda \Omega^{-1} X - X \Omega \Lambda \Omega^{-1} = \Omega [\Lambda, \Omega^{-1}X\Omega] \Omega^{-1} = C\\ [\Lambda, \Omega^{-1}X\Omega] = \Omega^{-1}C\Omega $$ Denota $R = \Omega^{-1}C\Omega, Y = \Omega^{-1}X\Omega$ la ecuación se convierte en $$ [\Lambda, Y] = R $$ con índices es decir $$ \lambda_i Y_{ij} - \lambda_j Y_{ij} = R_{ij}\\ Y_{ij} = \begin{cases} \dfrac{1}{\lambda_i - \lambda_j}R_{ij}, &\lambda_i \neq \lambda_j\\ \text{any}, &\lambda_{i} = \lambda_j \end{cases} $$ siempre que $R_{ij} = 0$ para cada $\lambda_i = \lambda_j$ (por lo menos, $\operatorname{diag}(R) = 0$ ).