La geometría de la pregunta con un montón de triángulos

Question

Deje $ABCDEF$ ser un hexágono convexo, y denotan por $P, Q, R, S, T, U$ los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DE, EF, FA, respectivamente. Supongamos que las áreas de los triángulos $ABR, BCS, CDT, DEU, EFP$ $FAQ$ 12, 34, 56, 12, 34 y 56 respectivamente. Hallar el área del hexágono.

Traté de dibujar el diagrama completo al principio, pero que resultó tener un montón de triángulos, de manera que es un poco confuso.

Entonces traté de dibujar pares de triángulos con las mismas áreas, pero que realmente no ayuda.

Gracias

Answer 1

Desde $R$ es el punto medio del segmento de $CD$ hemos $$ \textrm{Area} ABR = 1/2 ( \textrm{Area} (ABC) + \textrm{Area} (ABD))$$ Del mismo modo para todos los demás triángulos considerados anteriormente. Ahora suma de todas las áreas dadas en el problema. Utilizando las fórmulas que se acaba de decir, esto es $1/2$ multiplicado por la suma de todas las áreas en el lado derecho. Esta suma será un múltiplo entero de que el área del hexágono. Para ver rápidamente lo múltiple, es decir, asumir que el hexágono es regular. Por lo tanto, obtenemos la suma de todas las áreas en el lado derecho $= 6 \times 1/2 \cdot \textrm{Area hexagon}$. Por lo tanto $$12+ 34+ 56+12+34 + 56 = 1/2 \times 6 \times 1/2 \textrm{Area hexagon}=3/2 \cdot\textrm{Area hexagon} $$.