La desaparición de la segunda Stiefel–Whitney clases de superficies orientables

Question

¿Cómo hace uno para ver que la segunda Stiefel-Whitney clase es cero para todas las superficies orientables. Para $S^2$ esto puede ser visto por $TS^2$ estable trivial, y para $S^1 \times S^1$ uno puede usar $T (S^1 \times S^1) = TS^1 \times TS^1$, lo que da la clase en términos de las clases en $TS^1$ (que son todos trivial). Lo que un aumento de género?

Gracias!

Answer 1

Tangente paquete es estable trivial para cualquier superficie orientable (debido a que el normal paquete es trivial).

Answer 2

La segunda Stiefel-Whitney clase de una superficie es el mod 2 reducción de la clase de Euler. Dado que la característica de Euler (y por tanto el número) es divisible por 2, $w_2$ es cero.