Sobre una ecuación de Einstein

Question

Esta es una pregunta acerca de un histórico de la teoría de la gravitación, estudiado por Einstein un poco antes de que él se instaló en la Relatividad General. En ese momento, Einstein no sabía que la gravedad es una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo. Se identificó a las variaciones de la gravedad con las variaciones de la velocidad de la luz en un campo gravitatorio.

En Marzo de 1912, Einstein postuló una primera ecuación de la estática del campo gravitatorio, la derivada de la ecuación de Poisson $$\Delta c = kc\rho \tag{1}~,$$ where $c$ is light speed, $\rho$ is mass density and $\Delta$ es el Laplaciano.

Dos semanas más tarde, se modificó esta ecuación mediante la adición de un término no lineal para satisfacer la energía-conservación del momento : $$\Delta c = k\big(c\rho+\frac{1}{2kc} (\nabla c)^2\big)~. \tag{2}$$ Einstein argumento es el siguiente:

La fuerza por unidad de volumen en términos de la densidad de la masa $\rho$ $f_a$ $= \rho \nabla c$. Sustituyendo $\rho$ $\frac{\Delta c}{kc}$ [ecuación (1)], nos encontramos con $$f_a = \frac{\Delta c}{kc} \nabla c~.$$

Esta ecuación debe ser expresable como una total divergencia (conservación de momento) de lo contrario la fuerza neta no será cero (suponiendo $c$ es constante en el infinito). Einstein dice:

"En un cálculo simple, la ecuación (1) debe ser reemplazada por la ecuación (2)."

Nunca he encontrado el cálculo simple. Eso es algo que es realmente difícil para mí!

anexo
La solución dada y explicado por @Gluoncito (ver más abajo) responde perfectamente a mi pregunta. Sin embargo, es probable que no es la demostración de Einstein para al menos una razón : no es un cálculo simple.
Históricamente, Abraham, un físico alemán, fue el primero en generalizar la ecuación de Poisson mediante la adición de un término para la densidad de energía del campo gravitacional (procedente de la $E=mc^2$). Publicó un artículo en enero de 1912 que contiene un campo estático de la ecuación con el término : $\frac{c^2}{\gamma}(\nabla c)^2 $ diferentes pero no muy lejos de la de Einstein plazo. Después de la publicación de Einstein, Abraham afirmó Que Einstein copia de su ecuación. Creo que Einstein era, al menos, inspirado por Abraham. Hasta qué punto, no sé.

Answer 1

No es una derivación de las ecuaciones anteriores dadas por Giulini (puede ser más pedagógico?), Usted puede mirar en :

http://ae100prg.mff.cuni.cz/presentations/Giulini_Domenico.pdf

Como se verá, se llega a la misma ecuación (2) suponiendo que la variable de la velocidad de la luz" en realidad es proporcional al potencial gravitatoria, como yo la primera vez que asumió, (no hay necesidad de velocidad variable de la luz). Por favor, tenga en cuenta que en la teoría general de la relatividad la velocidad de la luz es constante en las cartas locales, y eso es suficiente para la teoría.

ok, como pedido por los operadores puedo copiar las partes principales de la demostración: el campo de la ecuación para el campo gravitatorio en la mecánica Newtoniana es: $$\Delta \phi = 4πG \rho$$,

la de Newton, la fuerza por unidad de volumen (densidad de masa x aceleración) es: $$f = −\rho \nabla \phi$$. Ahora, el trabajo realizado contra la gravedad para montar un mueble de la materia $\delta \rho$ (a lo largo de un cambio incremental $\delta \xi$ a lo largo del flujo) es: $$\delta A=-\int \delta \vec{\xi}.\vec{f} =\int \phi \delta \rho$$,

un pequeño cambio en la densidad de la materia, produce un cambio en el potencial gravitacional: $$\Delta \delta \phi = 4πG \delta \rho$$ con esto, el trabajo puede ser escrita: $$\delta A=\int \phi \delta \rho=\delta ( \frac{-1}{8 \pi G} \int (\nabla \phi)^2)$$ donde la igualdad se da la integración por partes de la lhs. Por lo tanto es posible encontrar la densidad de energía del campo gravitacional como: $$\epsilon=\frac{-1}{8 \pi G} (\nabla \phi)^2$$ Ahora, el punto importante es que cualquier fuente del campo gravitacional debe ser compatible con el principio de $E=m c^2$. Por lo tanto, (salto a la eq. 9) la masa de equivalencia del campo gravitacional es: $$\delta M_g=\frac{1}{4 \pi G} \int \Delta \delta \phi$$ * Newtoniano de la gravedad no cumplen con este principio desde el lado derecho es cero en ausencia de materia. Así que Einstein añadido la energía del campo gravitacional ( $\epsilon$ , calculado antes) como fuente. $$\Delta \phi=4 \pi G (\rho-\frac{1}{8 \pi G c^2} (\nabla \phi)^2)$$ A continuación, se calcula la masa plazo (un complicado integral que estoy un poco perdido aquí, eq. 11), y redefine para mantener la coherencia con el trabajo $\delta A$ el campo de: $$\phi \rightarrow \Phi=c^2 exp(\phi/c^2)$$ con esta definición, la ecuación resulta: $$\Delta \Phi=\frac{4 \pi G}{c^2} (\Phi \rho +\frac{c^2}{8 \pi G \Phi} (\nabla \Phi)^2)$$ La redistribución de la c-factores es debido a la redefinición de $\phi$. El $\Phi$ multiplicando $\rho$ cancela cuando usted reemplazar todo por $\Phi$ y recibe el original de la nca. * por encima.

Bien, esta fue la derivación de Giulini, no muy pedagógico porque de eq. 11. Si yo entiendo lo que te digo. Podría ser mejor leer el original de Einstein, el papel, pero la tengo sólo en alemán. Estoy seguro de que Einstein fue más claro en el final...