Deje $D = \{(x,y) \in \Bbb R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1\}$ ser la unidad de disco. Es posible encontrar cinco subconjuntos $A_1, \dots, A_5 \subset D$ tal que se cubra $D$ y todos ellos tienen un diámetro en la mayoría de las $1$?
Mis condiciones a solo $$D = \bigcup\limits_{i=1}^5 A_i \qquad\text{y}\qquad \mathrm{diámetro}(A_i) := \sup\limits_{x,y \in A_i} \|x-y\|_2 \leq 1, \;\;\forall i \in \{1,\dots,5\}.$$
Por supuesto, esto es posible con $6$ piezas, es decir, $$A_i = \{re^{ia} \;\mid\; 0≤r≤1,\; 2\pi (i-1) /6 ≤ a ≤ 2\pi i/6\}$$
Pero no creo que esto es posible sólo con $5$ piezas (incluso con los no-medibles subconjuntos), pero no veo ninguna simple argumento.
Gracias por su ayuda!
