$T_2$ espacios y puntos aislados

Question

¿Existe un espacio topológico de Hausdorff con un número infinito de puntos aislados, de modo que cualquier conjunto infinito de puntos aislados tenga un número infinito de puntos límite? (Por supuesto, sería imposible si un punto límite es un límite de una secuencia).

Answer 1

Sí:$\beta\Bbb N$, la compactificación de Čech-Stone de$\Bbb N$, que es un espacio compacto Hausdorff, tiene esa propiedad. De hecho, cada subconjunto infinito de$\Bbb N$ tiene$2^{\mathfrak{c}}$ puntos de límite. (Cada punto de$\Bbb N$ está aislado).