Interpretación geométrica de valores propios complejos

Question

¿Cuál es la interpretación geométrica de valores propios complejos? Para mí, está claro que los autovalores reales de una matriz$A$ se asocian a vectores propios a lo largo de los cuales la matriz$A$ se contrae o se expande. Los valores propios complejos se asocian intuitivamente (pero no claramente) con los vectores propios a lo largo de los cuales la matriz$A$ rota el espacio.

Answer 1

Si$A$ es matriz real y existe su eigenvalue (no real)$\lambda=a+bi$ y eigenvector$x=v+iw$ ($a,b \in \mathbb{R}$,$v,w$ - vectores reales), entonces:

$Ax=\lambda x$, asi que:

$A(v+iw)=\lambda(v+iw)$

$Av+iAw=av-bw+i(aw+bv)$

Y entonces $Av=av-bw$. Puede interpretar este resultado de esta manera: existen$Aw=ax+bw$ y vectores$a,b \in \mathbb{R}$ que$v,w$ transforma$A$ a$v$ y$av-bw$ a$w$.