Media sobre los ángulos

Question

Me siento bastante tonto por preguntar esto, pero se está volviendo un poco frustrante.

Tengo una función que depende de $\theta$ y $\phi$ en coordenadas esféricas:

$$f(\theta, \phi) = \sin^2 \theta \mathcal{L} + \left( \cos^2\theta +\sin^2\phi \sin^2\theta \right) \mathcal{M}$$

donde $\mathcal{L}$ y $\mathcal{M}$ son constantes positivas.

Quiero promediar esta cantidad sobre direcciones distribuidas uniformemente al azar. Para ello pienso en $\theta$ y $\phi$ como dos variables aleatorias de distribución uniforme y evaluar

$$f^\text{rand} = \int _{-\infty}^{\infty} \, d\phi \int _{-\infty}^{\infty} d \theta\, U(\phi) U(\theta) f(\theta,\phi) = \int _{0}^{2\pi} \, \frac{1}{2\pi} d\phi \,\int _{0} ^{\pi} \frac{1}{\pi} d \theta \, f(\theta,\phi)$$

¿Es esto correcto? Si no es así, ¿qué me falta?

Answer 1

Resulta tentador generar puntos (o equivalentemente, direcciones) distribuidos uniformemente en la esfera de esta manera. Por desgracia, no es correcto. Para una breve discusión de la cuestión, puede consultar el siguiente.

La probabilidad geométrica tiene muchos ejemplos de este tipo, en los que diferentes métodos para elegir una dirección, o un punto, "al azar" dan respuestas muy diferentes. Y no hay que "sentirse tonto". Hay un buen historial de respuestas diferentes que se obtienen utilizando nociones diferentes, pero no obviamente diferentes, de puntos elegidos al azar.

El problema en este caso es que obtenemos un fuerte sesgo hacia los dos polos. Una franja alrededor del ecuador, de gran superficie, tiene una probabilidad mucho menor de ser seleccionada que una región de superficie similar cerca de los polos. Esto puede verse, entre otras cosas, observando el Jacobiano. Pero a nivel informal, también se puede ver examinando el trozo de $\phi=0$ a $\phi=0.1$ y luego la pieza de $\phi=\pi/2 -0.1$ a $\phi=\pi/2$ . La disparidad de zonas es evidente. Por lo tanto, su integral no da un peso uniforme a todas las direcciones, y por lo tanto no "promedia" $f$ en la forma prevista.