"Orientación" de $\zeta$ ceros en la línea crítica.

Question

Yo soy bastante ignorante sobre análisis complejo así que por favor, perdona mi falta de terminología.

Vi una imagen bastante (publicado por debajo) de la conducta de la de Riemann zeta función a lo largo de la línea crítica. Lo que he notado es que la función toma en negativo de los valores imaginarios "justo antes de" los ceros y positivo de los valores imaginarios "justo después". Yo diría que estas con el mismo "orientación positiva" en ese sentido.

(EDIT: en Realidad no se en que sentido; si los ceros estaban en el otro lado de la bucles de positivo a negativo, pero todavía tiene el mismo "orientación" inutitively. Así que no estoy tan seguro como que yo pensaba que era que se podía formalizar este)

Un par de preguntas obvias vienen a la mente:

1) ¿esto siga pasando? El comportamiento que va en el principio muestra una forma en que podría desviarse de una forma de espiral, donde parece giro a sí mismo en la orientación opuesta.

2) Es esto interesante? Obviamente, esto sólo puede decirnos nada acerca de ceros en la línea crítica para no decir nada interesante para el problema más grande :) Pero si responde "sí" a esta pregunta podría ser algo como: hay un más útil la noción de "orientación de un cero" que se ve a un barrio entero de la cero. O: hay función en la que una restricción similar y el análisis nos dice algo muy interesante acerca de la estructura de la función posee.

Answer 1

Buena foto !

Para ver lo que sucede para valores más grandes que usted puede intentar algunos applets (con más sugerentes nombres) como Glen Pugh la 'Zeta Función Plotter' o la 'Crítica de la Tira Explorer'. Me voy a concentrar en el segundo uno que yo sé...

Haga clic en la parte inferior izquierda y seleccione 'Riemann zeta función'. Esto le dará la órbita de la línea crítica en $\mathbb{C}$ (es decir, la curva de la imagen proyectada en su plano horizontal), más exactamente, los valores de $\,\zeta\bigl(\frac 12+it\bigr)\;$ $\,t$ restringido para el intervalo vertical $(y-R,y+R)$ (a la izquierda de la barra de desplazamiento permite modificar $R$, tenga en cuenta que puede ser necesario aumentar la 'Términos' en la parte inferior más suave para la interpolación). La barra de desplazamiento a la derecha permite desplazar $y$ (su $t$) y el intervalo vertical. Manteniendo el botón del ratón sobre el 'arriba' botón de desplazamiento en el intervalo de forma continua.
('Zeta de Riemann 3D' muestra la misma curva, pero "en perspectiva" como si fueran, por el aumento de $t$, caminar sobre la línea vertical de la imagen)

Ahora vamos a responder a tus preguntas :

1. Podemos observar que la fase de la Riemann $\zeta$ función que es el ángulo entre la horizontal de la línea y la línea de $OM(t)$ cambios muy suavemente como $t$ aumenta ('$O$' es el punto de cruz en la imagen de la localización de los ceros de $\zeta$ $M(t)$ es el punto negro de la curva correspondiente a $\zeta\bigl(\frac 12+it\bigr)\;$). Para los positivos $t$ el punto de giro con la regularidad de las agujas del reloj, mientras que la distancia al origen será la "errática parte' ! Jugando con el applet con valores negativos de $t$ debe mostrar que la órbita se invierte en $0$ y vueltas en sentido antihorario para $t$ negativo (con perfecta simetría de la curva alrededor de $t=0$).
   El punto es que podemos reescribir $\zeta\left(\frac 12+it\right)$ como : $$\zeta\left(\frac 12+it\right)=Z(t)\;e^{-i\theta(t)}$$ con $Z$ una función real y la fase de $-\theta(t)$ el muy regular de Riemann–Siegel theta función de con $\,\displaystyle\theta(t)=\Im\left(\log(\Gamma\left(\frac 14 + \frac{i\,t}2\right)\right) - \frac{t}2\log(\pi)\,$ y un lugar simple asintótica fórmula : $$\theta(t)\sim \frac t2\log\frac t{2\pi}-\frac t2+\frac {\pi}8+\frac 1{48t}+\cdots$$ Desde la alta regularidad de esta fase tenemos un muy regular de las agujas del reloj (porque de $-\theta$) rotación de la órbita. La irregularidad de la parte está contenida en la función real $Z(t)$ (Riemann-Siegel en el applet) que oscila violentamente alrededor de $0$ y que produce el real $\zeta$ ceros.
   Usted puede pensar que es todo bien y bueno, pero no explica por qué la mayoría de las $\zeta$ órbita está a la derecha del plano complejo, de modo que (la mayoría?) los ceros se cruzan desde la parte inferior a la superior. Esto muestra una clara 'acoplamiento' de los ceros con la fase de $-\theta(t)$. Más exactamente positiva y creciente de los valores de $t\,$ Gram observado ceros de $\zeta\bigl(\frac 12+it\bigr)$ $t=t_i$ alternando con los ceros de $\sin(\theta(t))$ $t=g_j$ como se muestra en la siguiente imagen (esta tarde fue nombrado "Gramo de la ley" por Hutchinson incluso si él sabía contraejemplos). $$-$$ Para hacer todo esto más claro un viejo hilo puede ayudar a que así como esta imagen de la "principal" el valor (en $(-\pi,\pi])\;$) del argumento de $\zeta$ dividido por $\pi$ : $\ \displaystyle\frac 1{\pi}\rm{Arg}\;\zeta(1/2+it)\ $ en comparación con $\,-\frac {\theta(T)}{\pi}\,$ :
   La primera ceros son las líneas verticales cerca de $t_1\approx 14.135,\ t_2\approx 21.022,\ t_3\approx 25.011,\cdots$ y puede anotar un 'salto' de $+1$ en cada uno de estos ceros por lo que resta de estas dos funciones (y añadiendo $1$) producirá un bonito '$\zeta$ ceros en la función de conteo' (con algunas breves 'fallos' de $\pm 2$ después $t=415$ de ninguna consecuencia aparente...).
   El Gramo puntos de $\,g_j$ compruebe $\,\sin\,\theta(g_j)=0\,$ lo que implica que $\zeta$ es real en estos puntos, mientras que las coordenadas de su representación se $0$ en ambas imágenes y aparecen, como se afirma por Gramo, perfectamente entre dos ceros consecutivos de $\zeta$ a partir de con $g_0$. Para averiguar la razón por la $\zeta$ parece "atraído" por la línea real vamos a contar el número de ceros y la comparamos con cómo muchas veces la verdadera línea se cruzó. $$-$$ Este 'acoplamiento' aparece en algunas líneas cortas de Riemann, el papel, pero que podemos consultar la información más detallada Backlund versión. El argumento principio de análisis complejo que permite contar los ceros en un rectángulo $\;R=[-\epsilon,1+\epsilon]\times[0,T]\,$ mediante el cálculo de la integral : $$N(T)=\frac 1{2\pi i}\int_{\partial R}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}ds$$ Backlund utiliza la simetría del rectángulo y el $\zeta$ funcional ecuación (es decir, la simetría entre las $\zeta(s)$$\zeta(1-s)$) para reescribir esto como : $$N(T)=\frac {\theta(T)}{\pi}+1+\frac 1{\pi}\Im\int_{C}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}ds$$ ($C$ es una parte de la $\partial R$ : la línea quebrada $(1+\epsilon,1+\epsilon+iT,\frac 12+iT)$)
   Mediante un cuidadoso estudio de los posibles ceros en $C$ Backlund demostrado que el valor absoluto de la integral a la derecha fue delimitada por una función lineal de la $\log T\,$ mientras $\,\displaystyle\frac {\theta(T)}{\pi}$ es cerca de $\,\displaystyle\frac T{2\pi}\left(\log\frac T{2\pi}-1\right)+\frac 18$$T\gg 1\;$. Todo esto muestra que la $N(T)$ nunca está muy lejos de $\,\displaystyle\frac {\theta(T)}{\pi}+1\,$ mientras que la adición de una más exacta de la repartición de los ceros! $$-$$

2. Es esto interesante? Bien el Gramo puntos fueron productivas, incluso si el Gramo de la 'ley' error después de la $t_{126}$ la producción de la interesante 'Lehmer fenómeno' : un 'cerca de contraejemplo' a R. H.
   De todos modos el estudio de la fase permitió a contar los ceros y esto es muy interesante por sí mismo !
   Otros estudios de este tipo que se hayan producido, creo que por el estudio de los ceros de $\zeta'$ y así sucesivamente...

Para aprender más acerca de estas cosas muy interesantes una excelente referencia es (como de costumbre) de Edwards excelente Riemann Zeta Función.