Grupo de Galois de$\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]$

Question

Estoy tratando de calcular el grupo de Galois de $\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$, de la siguiente manera:

En primer lugar, $\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$ es una extensión de Galois del polinomio separable $(x^2-2)(x^2-3)$ (separables porque $\text{char}(\mathbb{Q})=0$).

Escribir $G=\text{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]/\mathbb{Q})$. Cada elemento de a $G$ envía raíces $x^2-2$ a las raíces de $x^2-2$ y las raíces de $x^2-3$ a las raíces de $x^2-3$ (debido a que ambos polinomios son irreducibles). Me gustaría mostrar que todas las combinaciones son posibles.

Tomar la identidad automorphism $\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$. Hay dos maneras para extenderlo a un automorphism $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\rightarrow\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$. Ahora me gustaría extenderlo a un automorphism de $\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]$. El polinomio mínimo de a $\sqrt{3}$ $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ divide $x^2-3$. Si es igual a $x^2-3$, entonces hemos terminado.

¿Cómo puedo demostrar que el polinomio mínimo de a$x^2-3$$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$$x^2-3$.

Una manera de ir, es para mostrar que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ no contiene una raíz cuadrada de $3$ escrito $(a+b\sqrt{2})^2=3$ y derivar una contradicción. No pude hacer eso, y de todos modos, estoy con la esperanza de un modo limpio.

(otro enfoque: si asumimos que el polinomio mínimo de a $\sqrt{3}$ $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ es cuadrática, a continuación,$[\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}:\mathbb{Q}]=4$, y luego por la teoría de Galois tenemos $|\text{Aut}(\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}/\mathbb{Q})|=4$, lo que significa que todos los 4 possibilies debe definir automorfismos. Este es el enfoque sugerido en las respuestas a esta pregunta relacionada, pero no explica la parte tengo problemas con el).

Nota: Si usted cree que un enfoque totalmente diferente para calcular este grupo de Galois es más limpio, por favor, qué espectáculo!

Answer 1

Su enfoque se ve bien. Y usted sólo tiene que demostrar que $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$. Bien, de lo contrario $(a+b \sqrt{2})^2=3$ para algunos racionales $a,b$. La expansión y el uso de ese $1,\sqrt{2}$ son linealmente independientes, se deduce que el $a^2+2b^2=3$$2ab=0$. Por lo tanto $a=0$ $2b^2=3$ o$b=0$$a^2=3$. Pero usted probablemente ya sabe que $\sqrt{3}$ $\sqrt{3/2}$ son irracionales.

Más generalmente, si $m_1,\dotsc,m_r$ son coprime plaza libre de enteros, a continuación, $\mathbb{Q}[\sqrt{m_1}\,,\,\dotsc,\,\sqrt{m_r}\,]$ tiene el grado $2^r$$\mathbb{Q}$, y el grupo de Galois es isomorfo a $(C_2)^r$. Vea aquí.