Una variación de un tensor es siempre un tensor y la fórmula para el valor de arriba no demuestran lo contrario.
Probablemente lo que sorprende es que el $\delta g_{\mu\nu}$ $\delta g^{\rho\sigma}$ no están relacionados unos con otros por el simple aumento de los índices de $\mu,\nu$ o de la reducción de los índices de $\rho,\sigma$. De hecho, no están relacionadas en esta forma. En este caso, no es un signo.
La razón por la que esta sencilla receta no es que cuando expresamos $g^{\rho\sigma}$$g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}g_{\mu\nu}$, es decir, una fórmula para elevar los índices de $\mu,\nu$, no debemos olvidar tomar en cuenta el distinto de cero variaciones de la métrica tensores $g^{\rho\mu}$ $g^{\sigma\nu}$ que se utiliza para elevar los índices! Estamos tratando de hablar acerca de $\delta g^{\rho\sigma}$, por lo que es claro que $g^{\rho\mu}$ $g^{\sigma\nu}$ también son distintos de cero y por eso nos dan un extra términos de la fórmula de Leibniz para la variación del producto.
Pero el hecho de que $\delta g$ con los bajos y los altos índices no están relacionados por el simple procedimiento de subir o bajar los índices no significa que estos dos objetos no son tensores. Siendo un tensor no es acerca de sus relaciones con otros tensores con diferente posición de los índices sobre las normas para la elevación o descenso de los índices. En su lugar, para juzgar si un objeto es un tensor, siempre debemos mantener los índices en el mismo lugar. De hecho, se podría determinar si un objeto es un tensor incluso si fuera imposible subir o bajar los índices, es decir, si no hubo métrica tensor de alrededor para hacer el trabajo!
La condición para que algo es un tensor significa que si se cambia a un sistema de coordenadas diferente, los componentes de la transformación de la
$$ T_{\alpha'\beta'\dots}{}^{\lambda\mu\dots} = T_{\alpha\beta\dots}{}^{\lambda\mu\dots}\cdot D_{\alpha'}^\alpha D_{\beta'}^{\beta}\dots $$
donde las matrices $D$ se compone de $\partial x^{\alpha'}/\partial x^{\alpha}$ y expresiones similares. Tenga en cuenta que estos $D$ objetos tienen uno inferior y uno superior índice y no subir o bajar nada! El número de covariante y contravariante índices son los mismos en ambos sistemas de coordenadas cuando se trata de decidir si algo es un tensor!
Tenga en cuenta que la fórmula de la variación de la parte superior de los componentes de la métrica puede ser fácilmente deriva del hecho de que
$$ \delta (\delta_\mu^\alpha ) = 0$$
que tiene porque la delta de Kronecker tiene componentes constantes $1$$0$. Usted puede reescribir
$$\delta_\mu^\alpha = g_{\mu\lambda} g^{\alpha\lambda}$$
por lo que sus variaciones, por la regla de Leibniz, es
$$ \delta (\delta_\mu^\alpha ) = \delta g_{\mu\lambda}\cdot g^{\alpha\lambda}+g_{\mu\lambda}\cdot \delta g^{\alpha\lambda} = 0 $$
que ya se permite el cálculo de la variación de la parte superior del componente métrica a partir de la variación de la parte inferior componente métrica por un simple cambio de nombre y bajar y subir de los índices. Tenga en cuenta que el signo menos surge porque la suma de los dos términos anteriores es igual a cero.
