Encontrar el número de elementos$n\in\{1,2,...,20\}$ para el cual$1.9\le\frac{A_n}{A_{n-1}}\le2$ donde$A_n=\max\left\{\binom{n}{r}:0\le r\le n\right\}$

Question

P. Para cada uno positivo no. $n$ $$A_n=\max\left\{\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right):0\leq r\leq n\right\}$$Then the no. of elements of $n$ in ${1,2,3.............20}$ for which $1.9\leq\frac{A_n}{A_{n-1}}\leq2$ es__?

Intento:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left(\frac{n!}{(n-r)!r!}\right)=0$$ to calculate the maximum $r$ for a particular $$n.No sé cómo calcular esto.

Cómo realizar esta derivación?

Otro Intento:

He trazado de la gráfica de $$\frac{n!}{(n-x)!x!}$$ for any particular $$n.

En la inspección,he encontrado que la función alcanza el máximo valor en $x=n/2$

$$A_n=\frac{n!}{(\frac{n}{2})!\frac{n}{2})!}$$

$$A_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(\frac{n-1}{2})!\frac{n-1}{2})!}$$

Por lo tanto,$$1.9\leq\frac{\frac{n!}{(\frac{n}{2})!\frac{n}{2})!}}{\frac{(n-1)!}{(\frac{n-1}{2})!\frac{n-1}{2})!}}\leq2$$

Ahora estoy atascado de nuevo.Puedo continuar a partir de aquí y cómo?

Si ninguno de estos intentos son útiles,cómo resolver esta cuestión?

Answer 1

SUGERENCIA: observe que$(n-r)!r!=s!(n-s)!$ para todos$(n,s)$ tal que$r=n-s$.

Entonces$$\{(n-r)!r!:r\in\{0,\ldots,n\}\}=\{(n-r)!r!:r\in\{0,\ldots,\lfloor n/2\rfloor\}\}$ $

donde$\lfloor n/2\rfloor$ es la función de piso en$n/2$. Ahora verifique que la función

ps

es estrictamente decreciente, es decir,$$f:\{0,\ldots,\lfloor n/2\rfloor\}\to \Bbb N,\quad r\mapsto (n-r)!r!$. Entonces

ps

Luego la pregunta sobre la evaluación deseada se convierte en

ps

En el último paso utilicé el hecho de que$f(k)>f(k+1),\forall k\in\{0,\ldots,\lfloor n/2\rfloor\}$ para todos$$f^{-1}(\min\{(n-r)!r!:r\in\{0,\ldots,\lfloor n/2\rfloor\}\})=\lfloor n/2\rfloor\implies A_n=\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$, lo que implica que$$\frac{A_n}{A_{n-1}}=\frac{\frac{n!}{\lfloor (n+1)/2\rfloor!\cdot\lfloor n/2\rfloor!}}{\frac{(n-1)!}{\lfloor n/2\rfloor!\cdot\lfloor(n-1)/2\rfloor!}}=\frac{n}{\lfloor (n+1)/2\rfloor}$.