El problema
Deje $X$ ser un conjunto infinito con el cofinite finito (complemento) topología y deje $Y$ ser un espacio de Hausdorff. Caracterizar las funciones continuas de$X$$Y$.
Lo que tengo hasta ahora
Para una función de $f:X \rightarrow Y$ a ser continua, tenemos que
$f$ es continua $\iff$ para cualquier conjunto abierto $U$ de $Y$, $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$,
o, de manera equivalente:
$f$ es continua $\iff$ para cualquier cerrada set $B$ de $Y$, $f^{-1}(B)$ es cerrado en $X$.
Los conjuntos cerrados de $X$ son todos los subconjuntos finitos de $X$ o todos los de $X$.
Ya que cada finito de punto de ajuste $W$ en un espacio de Hausdorff es cerrado, debemos tener la $f^{-1}(W)$ es un subconjunto finito de $X$ o todos los de $X$.
Pero, ¿qué acerca de los infinitos subconjuntos cerrados de $Y$? Realmente no sé a dónde ir desde aquí. Estoy en el camino correcto aquí? Debo estar buscando en los conjuntos cerrados en todo?
Cualquier ayuda apreciada!
