Conexiones en un colector y conexiones principales en el haz de marcos

Question

Supongamos que $M$ es un colector, y $E$ un haz vectorial sobre $M$ equipado con una conexión $\nabla $ . Si $F$ es el haz de marcos de $E$ ¿existe una constricción explícita de una conexión en $F$ asociado a $\nabla$ de manera que, de esta forma, las conexiones en $E$ y $F$ son $1$ - $1$ ¿Corresponsal?

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Editar para la recompensa:

Realmente necesito una respuesta a esta pregunta, y como ya fue publicada creo que poner una recompensa es lo más sensato.

Para reformular la pregunta en mis propios términos: Dejemos que $M$ sea una suave $n$ -manifiesto. Podemos asociar el siguiente principal $GL(n)$ -en el que se le ha añadido un paquete: $$F = \{(m,\theta)|m\in M, \theta:\mathbb{R}^n\to T_mM\mathrm{\ lin.\ isom.}\}$$ con la acción correcta dada por $(m,\theta)g = (m,\theta g)$ . Su espacio tangente se define (como para cualquier otra variedad) como un cociente del espacio de trayectorias sobre $F$ . Para obtener una representación más concreta, necesitamos una forma de diferenciar "trayectorias de cuadros", pero como tales trayectorias pueden verse como tuplas de trayectorias de vectores en $M$ basta con especificar una conexión $\nabla$ en $M$ para obtener la identificación $$T_{(m,\theta)}F \cong \{(\hat{m},\hat{\theta})|\hat{m}\in T_mM,\hat{\theta}:\mathbb{R}^n\to T_mM\}$$ donde identificamos la clase de equivalencia de los caminos $[\gamma(t),\theta(t)]$ con $(\dot{\gamma}(0),(\nabla_{\dot{\gamma}}\theta)(0))$ . Esto nos da un mapa $$\{\mathrm{connections\ on\ }M\}\longrightarrow\{\mathrm{principal\ connections\ on\ F}\}$$ cartografía $\nabla$ a $A([\gamma,\theta]) = \theta^{-1}\nabla_{\dot{\gamma}}\theta\in\mathfrak{gl}(n)$ .

Creo que debería haber una forma de invertir este mapa (aunque quizá sólo en un subconjunto de las conexiones principales) pero no veo cómo. ¿Alguien tiene una idea o una solución?

Observación 1: Mi pregunta es en realidad un caso especial de la pregunta original sobre los haces vectoriales, es decir, si tomamos $E=TM$ .

Observación 2: Eché un vistazo al libro de Taubes, como se sugiere en las respuestas, pero no encontré lo que necesito (o tal vez lo encontré, pero no fui lo suficientemente inteligente para darme cuenta).

Answer 1

Ok, tuve una inspiración, y encontré la siguiente respuesta.

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Identificar $TM$ como el haz asociado $E = F\times_{GL(n)}\mathbb{R}^n$ donde la acción de $GL(n)$ en $\mathbb{R}^n$ está dada simplemente por la multiplicación por la izquierda. La identificación entre ambos viene dada por $$[(m,\theta),v]\in E\longmapsto\theta v\in T_mM.$$ Entonces tenemos una correspondencia biyectiva entre campos vectoriales en $M$ y secciones de $E$ dónde $X:M\to TM$ asociamos $$\overline{X}(m) = [m,\theta,\theta^{-1}X(m)]$$ para cualquier elección $\theta$ del marco en $m$ . Ahora una conexión $A\in\Omega^1(F;\mathfrak{gl}(n))$ nos da una forma de diferenciar $\overline{X}$ , a saber $d_A\overline{X}\in\Omega^1(M;E)$ ( $1$ -forma en $M$ con valores en $E$ ).

Reclamación: El encargo $$d_A\overline{X}\longmapsto\nabla X$$ es la biyección requerida, donde de $\nabla$ podemos recuperar $A$ al notar que $d_A = d + \rho(A)$ .

Prueba: Tenemos la identificación adicional de $T^*M$ con $E^*=F\times_{GL(n)}(\mathbb{R}^n)^*$ donde la acción de $GL(n)$ en $(\mathbb{R}^n)^*$ viene dada por $g\cdot v^* = v^*\circ g$ . Esto da una correspondencia entre $\Omega^1(M)$ con secciones de $E^*$ por $$\overline{\beta}(m) = [m,\theta,\beta(m)\circ\theta]$$ de forma similar a la anterior. Tenemos un isomorfismo natural $$\Omega^1(M;E)\cong\Omega^0(M;E^*),$$ por lo que lo único que nos queda por demostrar es que $$d_A\overline{X} = \overline{\nabla X}.$$ Esto va: $$\begin{align}\overline{\nabla X}(\hat{m}) = & \langle[m,\theta,\nabla_{\theta-}X],[m,\theta,\theta^{-1}\hat{m}]\rangle\\=&\langle[m,\theta,d_A\overline{X}(\theta-)],[m,\theta,\theta^{-1}\hat{m}]\rangle\\=&d_A\overline{X}(\hat{m})\end{align}$$ para $\hat{m}\in T_mM$ , donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es el emparejamiento natural.

Answer 2

Creo que se puede encontrar una construcción explícita en el libro de Clifford Taubes Geometría diferencial cuando introduce la conexión y la derivada covariante. Si no recuerdo mal, traduce la definición en el entorno del haz vectorial al entorno del haz principal alrededor de la página 150. Una advertencia: esa sección contiene lotes de errores tipográficos y es bastante difícil de leer. Además, no aborda realmente la configuración del paquete de marcos, sino la situación general. Así que hay que traducirlo de nuevo.

Hay muchas otras referencias (Kabayashi, por ejemplo) disponibles, pero nunca las he leído, así que no puedo hacer comentarios.