Derivado de una matriz cuadrada a una potencia

Question

Supongamos que tengo una función $f(x) = A^n$ donde $A$ es una matriz cuadrada, $x$ es un real positivo escalar, y $n$ es un número natural.

Me gustaría calcular la derivada de $f$ con respecto al $x$ (cada entrada en $A$ es una función de $x$).

Hay una fórmula simple para esto, en general, o qué necesito saber lo $n$ es y utilizar el producto de la regla?

He encontrado esto, pero no la entiendo (en particular, no entiendo lo $DS(A)$ o $S(A)$ medio).

editar: Cada entrada en $A$ es diferenciable.

Answer 1

Hay dos casos.

Caso 1. $A$ es diagonalizable y usted sabe explícitamente $D$ diagonal, $P$ invertible s.t. $A^n=PD^nP^{-1}$.

A continuación,$(A^n)'=P'D^nP^{-1}+nPD^{n-1}D'P^{-1}-PD^nP^{-1}P'P^{-1}$.

Caso 2. De lo contrario,

$(A^n)'=A'A^{n-1}+AA'A^{n-2}+\cdots+A^{n-1}A'$ (suma de $n$ matrices) donde $A'=[{a_{i,j}}']$.

No hay simplificaciones.

Answer 2

En general, tomar las matrices cuadradas a potencias enteras se hace mediante la búsqueda de la diagonal de la matriz $D$ y matrices $P$ $P^{-1}$ tal que $A=P^{-1}DP$.

Esto es debido a que $A^n=P^{-1}D^nP$, y debido a $D$ es diagonal, uno puede simplemente levantar a cada elemento de a $D$ $n$ conseguir $D^n$. De esta manera, podemos relativamente fácil encontrar una forma cerrada para $A^n$.

Si todas las entradas de $A$ son diferenciables, debe ser fácil diferenciar una vez que tenga esta forma cerrada de $A^n$.

Dicho esto, puede ser muy difícil para encontrar los valores propios de esta función con valores de la matriz para encontrar$P$$D$.

Si $A$ $m\times m$ matriz: Para encontrar$P$$D$, en primer lugar, encontrar $m$ linealmente independientes autovalores $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ y los correspondientes vectores propios $v_1, v_2, \cdots, v_m$. $P$ es la matriz de $[v_1, v_2, \cdots, v_m]$$D=I\begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\vdots\\\lambda_m\end{bmatrix}$.