Demostrar que el conjunto de puntos límite de un conjunto es cerrado

Question

De Rudin's Principios del análisis matemático (Capítulo 2, Ejercicio 6)

Dejemos que $E'$ sea el conjunto de todos los puntos límite de un conjunto $E$ . Demostrar que $E'$ está cerrado.

Creo que lo he entendido, pero mi argumento es un poco manoseado:

Si $x$ es un punto límite de $E'$ , entonces cada vecindad de $x$ contiene algunos $y\in E'$ y cada barrio de $y$ contiene algunos $z\in E$ . Por lo tanto, cada barrio de $x$ contiene algunos $z\in E$ y así $x$ es un punto límite de $E$ . Entonces $x\in E'$ Así que $E'$ está cerrado.

Lo que me molesta es el salto de un barrio a otro. ¿Es esto formalmente correcto?

Answer 1

Su argumento es correcto, pero incompleto: Todo lo que necesitas para terminarlo es asegurar que puedes encontrar un barrio de $y$ contenida en la vecindad de $x$ con el que comenzó (cualquiera sirve, ya que todos contienen elementos de $E$ ). Utiliza la desigualdad del triángulo para encontrar un radio apropiado para la vecindad de $y$ .

Answer 2

Dejemos que $\hat S$ sea el conjunto de todos los puntos límite de $S$ . Demostrar que $\hat S$ es un conjunto cerrado.

Prueba : Supongamos que $x_0$ es un punto límite de $\hat S$ . Entonces, dado $\varepsilon > 0$ existe $x \in \hat S$ con $\vert x - x_0\vert < \frac\varepsilon2$ . Ahora $x \in \hat S$ es un punto límite de $S$ por lo que existe $x' \in S$ tal que $\vert x' - x \vert < \frac\varepsilon2$ . Ahora $$\vert x' - x_0 \vert = \vert x' - x + x - x_0 \vert \leq \vert x' - x \vert + \vert x - x_0 \vert < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon$$ Así, $x_0$ es un punto límite de $S$ y por definición está contenida en $\hat S$ . Hemos demostrado que $\hat S$ contiene todos sus puntos límite. Por el teorema que afirma que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite, acabamos de demostrar que $\hat S$ es un conjunto cerrado.

Answer 3

Dejemos que $x$ sea un punto límite de $E'$ y que $\varepsilon >0$ . Entonces (por definición) existe $y\in E'$ tal que $0<d(x,y)<\frac{\varepsilon}{2}$ . Desde $y\in E'$ existe $z\in E$ tal que $0<d(y,z)<d(x,y)$ (aquí se utiliza $d(x,y)$ como el épsilon de la definición de punto límite).

Por la desigualdad del triángulo tenemos $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<\varepsilon$ y observe que, efectivamente $x\neq y$ . Así que (por definición) $x$ es un punto límite de $E$ . Es decir $E'' \subseteq E'$ lo que demuestra que $E'$ está cerrado.

Answer 4

Si x es un punto límite de E', entonces $$\forall x \forall r > 0 ( d(x, y) < r \to \exists y \in E' )$$ Existe un número real positivo h tal que $d(x, y) = r - h$ .

y es un punto límite de E, entonces $$\forall y ( d(y, z) < h \to \exists z \in E )$$

Así que, $$\forall x \forall r > 0 ( d(x, z) < d(x, y) + d(y, z) = r \to \exists z \in E )$$ Por tanto, x es un punto límite de E, $x \in E'$ .

Answer 5

Una definición equivalente de una vecindad de $x$ es que es un conjunto abierto que contiene $x$ . Si adoptas esta definición, entonces tu prueba es perfecta.