La solución de la ecuación de $\tan{x} + \tan \frac{x}{4}=2$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación de $\tan{x} + \tan \frac{x}{4}=2$.

1er intento: yo uso la siguiente identidad $\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}$. A continuación, obtener la siguiente ecuación

$$ u^5 -2u^4-8^3+12u^2+3u+2=0, $$ donde $u=\tan \frac{x}{4}$. Pero no puedo encontrar la raíz de esta ecuación.

2º intento: $\tan{4x} + \tan x=2\Rightarrow \sin{4x}\cos{x}+\sin{x}\cos{4x}=2\cos{4x}\cos{x}\Rightarrow \sin{5x}=2\cos{4x}\cos{x}$

$\sin{5x}=2\cos{4x}\cos{x}\Rightarrow \frac{1}{2}\sin{5x}=\cos{4x}\cos{x}\Rightarrow \cos({2k\pi\pm\frac{\pi}{3}})\sin{5x}=\cos{4x}\cos{x}$.

No se puede continuar a partir de aquí.

Answer 1

puede utilizar $$\tan(x)=\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$$ y $$\tan(x/2)=\frac{2\tan(x/4)}{1-\tan^2(x/4)}$$ poniendo todo cosas juntos y obtenemos la factorización de $$\left( {u}^{2}-4\,u+1 \right) \left( {u}^{3}+2\,{u}^{2}-3\,u-2 \right) =0$$ where $$u=\tan(x/4)$$