Diferentes límite de dos Hausdorff topología?

Question

Yo estaba trabajando en algunos ejercicios y me pregunto si se cumple lo siguiente:

Considere la posibilidad de un topológico de Hausdorff espacio de $(X,\tau)$ y una secuencia $(x_n)_{n\in \Bbb{N}}$ de los elementos de $X.$ Supongamos que $$x_n\to x\quad\mbox{as}\quad n\to \infty \quad\mbox{for the topology }\tau$$ with $x\in X.$

Ahora supongamos que tengo otro Hausdorff la topología en $(X,\tau')$. Suponiendo que $(x_n)_{n\in \Bbb{N}}$ converge también para esta topología, no se sigue que la$$x_n\to x\quad\mbox{as}\quad n\to \infty \quad\mbox{for the topology }\tau'?$$

Todos la contra-ejemplos que puedo encontrar son para no Hausdorff topología, estoy convencido de que es "hermoso" para ser verdad.

He intentado con algunos de probabilidad, es decir, la convergencia en distribución, pero no es realmente el cuidado de $\Omega$ para variables aleatorias así que...

Answer 1

Considere la posibilidad de $[0,1]$. Deje $\tau$ denotar la topología usual. Definir $\tau'$ a ser la topología de cuyos barrios son como sigue:

Para un punto de $x\in(0,1)$, el básico de los barrios de $x$ son de la forma $(a,b)$ donde $0<a<x<b<1$. El básico de los barrios de $0$ son de la forma $\{0\}\cup(a,1)$ donde $0<a<1$, y la base de los barrios de $1$ son de la forma $\{1\}\cup(0,a)$ donde $0<a<1$.

Tanto en $\tau$ $\tau'$ son Hausdorff topologías, y la secuencia de $(1/n)$ converge a$0$$\tau$$1$$\tau'$.

Answer 2

Hay una pregunta fundamental a la que usted se ha olvidado de preguntarte a ti mismo: ¿cómo se comparan los conjuntos subyacentes de los dos espacios topológicos?

Si usted acaba de pedir que el subyacente conjuntos en bijection, entonces considere el siguiente contraejemplo:

Deje $X$ ser un conjunto con la cardinalidad de a $\mathbb{R}$, vamos a $(X,\tau)$ $(X,\tau')$ tanto ser homeomórficos la línea real con el estándar de la topología, pero tal que las funciones de $0,1\in(X,\tau)$ son conmutados en $(X,\tau')$. Entonces cualquier sucesión convergente a $0$ $(X,\tau)$ convergerán a$1$$(X,\tau')$.

Si en lugar de pedir que no es un homeomorphism entre los dos espacios topológicos, entonces la afirmación es trivialmente cierto.