¿Cuándo utilizar qué cuantificador con lógica?

Question

Yo estoy siguiendo mi primer curso de lógica como parte de mi pre-programa de maestría. En la actualidad estoy trabajando en la lī ogica.

Sé que $∀$ es el cuantificador universal, que significa "todo" o "todos", y $∃$ es el cuantificador existencial, que significa "algunos" o "no hay".

En mi libro he intentado de la siguiente pregunta:

Traduce las siguientes oraciones en el predicado lógico fórmulas. Asumir el dominio de discurso es el de los seres humanos. No todas las chicas que aman a sí mismos

Yo solía $G$ "Niña" y $L$ "Ama". Mi traducción fue la siguiente: $$ ∀x(Gx \a Lxx) $$ Pero, la solución de los libros de texto da es: $$ ∃x(Gx ∧ Lxx) $$

Realmente estoy preguntando si ambas soluciones son correctas. En realidad, creo que la mía es más preciso considerar que "No Todos" es $¬∀x$ $∃x$ es de "algo".

Pero supongo que me falta algo, o es sólo un estilo de cosa y son correctos?

Answer 1

Las dos respuestas son equivalentes.

'$\lnot \forall$' es lo mismo que '$\exists \lnot$'.

Si no todos los gatos son negros, debe haber algún gato no es negro.

Así, tenemos que %#% $ #%

Ahora aplicamos la equivalencia tautológica $$ ¬∀x \ (Gx \to Lxx) \iff ∃x \ ¬(Gx \to Lxx) \text{.} $ $

(Podemos comprobarlo con una tabla de verdad: $$ \lnot (p \to q) \iff (p \land \lnot q) $ es cierto, acaso cuando $\lnot (p \to q)$ es TRUE y $p$ es falso.) para obtener el resultado final, $q$ $

Answer 2

Ambas son correctas. Son equivalentes.

$\neg \forall x~(Gx\to Lxx)$ "No todas las niñas aman ellos mismos."

$\exists x~(Gx\wedge \neg Lxx)$ «Algunas chicas no aman."

Answer 3

Yo diría que el autor de el libro de texto se tomó un enfoque equivocado. La tarea de traducción es para comunicar el significado tan cerca como sea posible a la original. Esto es especialmente importante en las matemáticas. Su respuesta se desprende del texto en inglés pie de la letra, y el autor de la respuesta se transforma. Aunque la transformación es legal, apuesto a que desconcierta a los lectores porque la transformación de la lógica de las fórmulas no pertenecen al proceso de traducción. Estoy totalmente de acuerdo en que su respuesta es más precisa.

Si eres exigente, entonces es posible que desee saber que hay circunstancias en las que su respuesta y el autor de la respuesta no son equivalentes. Su equivalencia es imposible probar en intuitionistic lógica. Intuitionistic lógica es ligeramente más débil que la lógica clásica que su libro de texto enseña. Intuitionistic lógica no contener la ley de medio excluido, y las tablas de verdad son inaplicables; declaraciones son probados por inferencia.