¿Cómo puedo encontrar la ecuación de un círculo dado dos puntos y una línea tangente a través de uno de los puntos?

Question

Me preguntaba si era posible encontrar la ecuación de un círculo dado dos puntos y la ecuación de la tangente a la línea a través de uno de los puntos de forma que produce el siguiente problema:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por a $(1,7)$ $(-6,0)$ y tiene una tangente con la ecuación de $2x-9y+61=0$ $(1,7)$

Este parece que debería ser solucionable, pero no puedo averiguar cómo. Claramente, la línea y el círculo tiene un punto de intersección, así que he intentado encontrar el punto de intersección entre la línea y el círculo se utiliza el genérico círculo de la ecuación de $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, la ecuación de la recta, y el discriminante resultante de la ecuación cuadrática, la cual debe ser 0, pero esto todavía produce una ecuación cuadrática con dos incógnitas.

Yo también siento como el hecho de que la distancia perpendicular entre el centro de la $(a,b)$ y la línea es el radio puede ser utilizado de alguna manera. De nuevo, tratando de que este parece producir ecuaciones con demasiadas incógnitas.

¿Cómo puedo solucionar este problema?

Answer 1

Aquí está una versión geométrica, no utilizar una única fórmula. Empezar con los puntos de $A$ $B$ y una línea de $\ell$ a través de $A$ (véase la siguiente figura).

Construcción de la línea perpendicular a $\ell$ a través de $A$ ($\color{red}{\text{red}}$ línea). Construir las mediatrices entre el $A$ $B$ ($\color{green}{\text{green}}$ línea, el punto verde es el punto medio de la $A$$B$). La intersección de ambas construidas líneas es el centro del círculo. El readius es la distancia del centro a $A$.

Puede convertir cada paso en una fórmula para resolver numéricamente si es necesario.

Answer 2

Sugerencia. El centro de tal círculo está en la línea ortogonal a la tangente que pasa por el punto de tangencia.

Por lo tanto, en su caso, la coordenada del centro es $C=(1+2t,7-9t)$ $t\in \mathbb{R}$. Con el fin de encontrar $t$, imponen que $C$ tiene la misma distancia de lo puntos dados $P=(1,7)$ y $Q=(−6,0)$: $$|CP|^2=|CQ|^2\Leftrightarrow (4+81)t^2=(7+2t)^2+(7-9t)^2.$ $

Answer 3

Usted puede escribir una combinación lineal con el círculo degenerado centro $(1,7)$y radio $r=0$ y la tangente que es como un círculo degenerado con radio "infinito"

Tiene $(x-1)^2+(y-7)^2+k(2x-9y+61)=0$

Luego enchufar las coordenadas del otro punto $(-6;\;0)$ tiene

$(-7)^2+(-7)^2+k(-12+61)=0$

resolución de $k$ obtenemos $k=-2$

el círculo deseado tiene ecuación $(x-1)^2+(y-7)^2-2(2x-9y+61)=0$

$\color{red}{x^2+y^2-6 x+4 y-72=0}$

Centro $(3;\;-2)$% y radio $r=\sqrt{3^2+2^2-(-72)}=\sqrt{85}$

Answer 4

Esta solución esencialmente sigue M. de Invierno de la solución algebraica más que geométricamente.

Conectar $(1,7)$ a $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, obtenemos $$ (1-a)^2 + (7-b)^2 = r^2 \text{.} $$ De la misma manera, $(-6,0)$ da $$ (-6 - a)^2 + b^2 = r^2 \text{.} $$ La eliminación de $r^2$ entre estos, multiplicando el binomios, a continuación, la recopilación de los poderes de $a$$b$, estos se reducen a $$ a + b = 1 \text{,} $$ la ecuación de la mediatriz del segmento entre los puntos dados.

La pendiente de la línea tangente es $2/9$, por lo que la pendiente de la línea a través del centro del círculo y $(1,7)$$-9/2$. La ecuación de esta línea es $$ (b - 7) = (-9/2)(a - 1) \text{.} $$

Estas dos líneas se cruzan en el centro del círculo. Tomando $b = 1-a$, cerrando en esta última ecuación, y resolviendo $a$, obtenemos $$ a = 3 $$ y, a continuación, $$ b = -2 \text{.} $$

Poniendo estas de nuevo en cualquiera de las dos primeras pantallas de da $$ r^2 = 85 \text{.} $$

De manera que la ecuación solicitada es $$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 85 \text{.} $$

Answer 5

Y después tenemos