Definir la integral de Riemann mediante trapecios en lugar de rectángulos

Question

Sea $I$ sea un intervalo y $f\colon I \to \mathbb{R}$ .

Recordemos que $f$ se llama Riemann-integrable con integral $s$ si se cumple lo siguiente:

Para todos $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualquier partición etiquetada $x_0,\ldots,x_n$ de $I$ y $t_0,\ldots,t_{n-1}$ cuya malla es inferior a $\delta$ tenemos

$$\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - s\right| < \epsilon$$

La idea intuitiva que conduce a la integral de Riemann es que se aproxima el "área bajo la curva" mediante rectángulos. Sin embargo, también se puede partir de la idea de aproximarla mediante trapecios. Así que uno podría tratar de definir la "integral trapezoidal" a través de:

Para todos $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualquier partición $x_0,\ldots,x_n$ de $I$ cuya malla es inferior a $\delta$ tenemos

$$\left |\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left( x_{k+1} - x_{k} \right) \left( f(x_{k+1}) + f(x_{k})\right) -s \right | < \epsilon$$

• ¿Sería esta "integral trapezoidal" equivalente a la integral de Riemann en el sentido de que una función es integrable trapezoidal si es integrable de Riemann y las integrales s son iguales en este caso? Si no es así, ¿es una más general que la otra?
• Si no es así: ¿Es posible hacer una definición ligeramente diferente de la integral partiendo de la idea del trapecio de forma que se pueda enunciar dicho teorema?
• ¿Es posible también generalizar la idea a una aproximación Newton-Cotes y obtener también una conexión clara con la integral de Riemann
• ¿Se conoce en la literatura este tipo de integral "trapezoidal" (o una generalización)? En caso afirmativo, ¿tiene alguna referencia que enuncie y demuestre teoremas sobre la relación con la integral de Riemann?

Ten en cuenta que conozco la Regla del trapecio para aproximar la integral de Riemann pero esto es sólo para aproximaciones numéricas.

Answer 1

Un argumento aproximado, por qué Riemann integrable y trapezoidal integrable deben ser equivalentes.

Este es el caso de una función integrando monótona creciente $f$ :

Primero es la suma de Riemann izquierda, luego la suma trapezoidal y por último la suma de Riemann derecha.

(de Suma de Riemann )

Obtenemos $S_{L}(n) \le s \le S_{T}(n) \le S_{R}(n)$ que emparedan la suma trapezoidal, por lo que si la integral de Riemann converge, ambas $S_L$ y $S_R$ convergen hacia $s$ y la suma trapezoidal también lo hará.

Para la otra dirección habría que encontrar una suma de Riemann derecha más fina, por ejemplo. $$ s \le S_R(n_2) \le S_T(n) $$ Debería ser posible encontrar un $n_2$ porque cada lado del trapecio (trapezoide) entre $(x_i, f(x_i))$ y $(x_{i+1},f(x_{i+1}))$ es una función lineal integrable de Riemann. Si se elige el mínimo de $n_2$ sobre todas las columnas trapezoidales debería funcionar.

Answer 2

Una dirección de la equivalencia es fácil.

Utilizando la desigualdad del triángulo

$$\left|\frac1{2}\sum_{i=0}^{n-1}[f(x_i)+f(x_{i+1})](x_{i+1}-x_i)-s\right| \\ = \left|\frac1{2}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)-\frac1{2}I+\frac1{2}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+1})(x_{i+1}-x_i)-\frac1{2}I\right|\\\leqslant \frac1{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)-s\right|+\frac1{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+1})(x_{i+1}-x_i)-s\right|.$$

Si $f$ es integrable de Riemann, entonces dado $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualquier partición $P$ con malla inferior a $\delta$ cada valor absoluto en el lado derecho es menor que $\epsilon$ .

Así, $||P|| < \delta$ implica

$$\left|\frac1{2}\sum_{i=0}^{n-1}[f(x_i)+f(x_{i+1})](x_{i+1}-x_i)-s\right| < \epsilon.$$

Demostrar, para una función acotada, que la integrabilidad en el sentido trapezoidal implica la integrabilidad de Riemann es más difícil.

Para una pregunta relacionada, véase

La equivalencia entre la integral de Cauchy y la integral de Riemann para funciones acotadas

donde se hace referencia a un artículo de Gillespie de 1915 -- que demuestra indirectamente que la existencia de la integral de Cauchy (un límite de sumas a la izquierda) implica la existencia de la integral de Riemann. Esa demostración es algo difícil de seguir.

Prueba directa: La convergencia de las sumas trapezoidales implica la integrabilidad de Riemann

La suma trapezoidal es una media de las sumas de la izquierda y la derecha:

$$T(P,f) = \frac1{2}[S_L(P,f) + S_R(P,f)] = \frac1{2}\sum_{i=0}^{n-1}[f(x_i)+f(x_{i+1})](x_{i+1}-x_i).$$

Dado que las sumas trapezoidales convergen a $s$ para cualquier $\epsilon > 0$ hay una partición $R = (x_0,x_1,\ldots,x_m)$ con $m$ subintervalos tales que

$$s - \epsilon/2 < T(R,f) < s + \epsilon/2.$$

Sea $D = \sup_{x,y \in I}|f(x)-f(y)|$ sea la oscilación máxima de $f$ en el intervalo $I$ . Elija cualquier partición $P = (y_0,y_1,\ldots,y_n)$ con $||P|| < \delta = \epsilon/(2Dm)$ . Tenga en cuenta que $m$ es el número fijo de subintervalos en la partición $R$ .

Tomando el refinamiento común $Q = P \cup R$ podemos demostrar que una suma superior de Darboux $U(P,f)$ satisface

$$U(P,f) - S_L(Q,f) < m \delta D = \epsilon/2,\\U(P,f) - S_R(Q,f) < m \delta D = \epsilon/2 \\ \implies U(P,f) - T(Q,f) < \epsilon/2.$$

Desde $Q$ es un refinamiento de $R$ tenemos $||Q|| \leqslant ||R||$ y $s - \epsilon/2 < T(Q,f) < s + \epsilon/2.$

Por lo tanto,

$$U(P,f) < T(Q,f) + \epsilon/2 < s + \epsilon.$$

Por un argumento similar podemos demostrar que para una suma de Darboux inferior $L(P,f)$ ,

$$L(P,f) > T(Q,f) - \epsilon/2 > s - \epsilon.$$

Por lo tanto, para cualquier partición $P$ con $||P|| < \delta$ y cualquier suma de Riemann correspondiente $S(P,f)$ tenemos

$$s - \epsilon < L(P,f) \leqslant S(P,f) \leqslant U(P,f) < s + \epsilon \\ \implies |S(P,f) - s| < \epsilon.$$