Considere dos órbitas $x(t),\space y(t)$ lo que representa el origen y el destino de algunos de los viajes espaciales de interés. Estos podrían ser, por ejemplo, cycloids describir LEO y otra órbita dando vueltas, digamos, de la luna o de Marte.
Supongamos que quiero dejar en $x(t_i)$ y llegar a $y(t_f)$, saliendo y que se une a las órbitas de los 'sin problemas', por lo que sus derivados $\dot{x}(t_t)$ $\dot{y}(t_i)$ también están imponiendo las condiciones de contorno en mi trayectoria.
Para lograr esto, me permiten motores de cohetes para ser despedido, más notablemente, dejando una órbita y de la desaceleración en el otro, pero también en cualquier momento durante el vuelo. Por otro lado, puedo restringir el gasto total de combustible a lo largo del viaje, o el total de la "delta-v" de los cambios, o algún equivalente.
Cuál sería el mejor modo de resolver esta trayectoria, incluyendo el patrón de activación del motor?
Lo que yo pensaba era la elaboración de algunos ajustado de Lagrange que incluye el impulso causado por los motores y la adición de un multiplicador de Lagrange la imposición de consumo de combustible. Esto se utiliza para derivar nuevas ecuaciones de movimiento. Por ejemplo, me gustaría considerar la posibilidad de una acción, tales como: $$S=\int_{t_i}^{t_f}L[q,\dot{q},F_e,t]dt+\lambda\left(J-\int_{t_i}^{t_f}|F_e(t)|dt \right)$$ Donde $q(t)$ es el deseado órbita, $F_e(t)$ es la fuerza ejercida por los motores y desconocido a priori, y $J$ el total de los impulsos suministrados por ellos a lo largo del viaje$^\dagger$. Ahora se derivan de Misiones de observación electoral y resolver para $q,F_e$.
Finalmente, me gustaría explorar si este "formalismo" produce soluciones (trayectorias) que puede ser invertida, de problemas, ya sea por $J$ (lo que permite la minimización de combustible) o $t_f,t_i$ (minimizando el tiempo de vuelo, recogiendo ventana de lanzamiento).
Donde estoy luchando es cómo modificar dijo Lagrange. Debe $F_e$ ser considerado como otro generalizado coordinar? Si es así, entonces una cinética de plazo para que sea necesario. Debe ser tratado como otro término en la energía potencial? Tal vez debería ser reformulado como una fuerza originarios de la aplicación de algunos restringido de la órbita? Tal vez es en realidad otro 'Lagrangianesque función de $q, \dot{q}$ y quizás $\ddot{q}$ así?
$^\dagger$Es de reconocer que la instantánea de empuje no es limitado, pero es un comienzo.
EDITAR
Siguiendo la referencia proporcionada en la respuesta de abajo, me las arreglé para hacer algún progreso con el problema. Esto fue hecho por "inversión de roles", por lo que ahora el "Lagrange" es el motor de la fuerza y un multiplicador de Lagrange aplica la ecuación de Newton del movimiento:
$$S=\int_{t_0}^{t_f}dt\left( F^2 + 2\lambda(t)[m\ddot{x}+m \nabla \phi-F] \right)$$
Ahora, tomando el diferencial de $S$ con respecto al $x, F$$\lambda$, y haciendo la rutina de integración por partes en la variación $\delta\ddot{x}$, obtenemos las siguientes ecuaciones de movimiento:
$$(1) \space F=\lambda$$
$$(2) \space m\ddot{x} = -m\nabla\phi +F$$
$$(3) \space \ddot{\lambda} = - H_{\phi}*\lambda$$
Donde $H_{\phi}$ denota la matriz Hessiana de $\phi$, es decir,$(H_{\phi})_{ij}=\partial_i\partial_j\phi$.
Estas ecuaciones pueden saber ser resuelto con las condiciones de contorno $x(t_0),x(t_f),\dot{x}(t_0),\dot{x}(t_f)$, que resultó ser bastante sencilla para hacer en MATLAB.
Lo siguiente en la agenda es el de la fabricación de $t_0, t_f$ gratis variable sujeto a la optimización así, para que podamos encontrar la mejor ventana de lanzamiento. Esto está resultando ser un poco más difícil. La introducción de estos grados de libertad requiere más multiplicadores de Lagrange y produce ecuaciones algebraicas para cada uno de ellos y los multiplicadores. La mayor dificultad es que las ecuaciones de movimiento de arriba no puede ser fácilmente integrado y, a continuación, resuelto por el tiempo de $t$, por lo que se puede evaluar en el lanzamiento y el aterrizaje de los tiempos. Alguna sugerencia?
