¿Por qué la definición de una integral especifica un intervalo cerrado?

Question

Aquí está la definición de una integral de Wikipedia:

Dada una función $f$ de una variable real $x$ y un intervalo $[a, b]$ de la recta real, la integral definida

$$\int_a^b f(x) \, dx$$

se define de forma informal como el área de la región en el plano $xy$ limitada por la gráfica de $f$, el eje $x$, y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$, de tal manera que el área por encima del eje $x$ suma al total, y la que está por debajo lo resta.

¿Por qué especifican un intervalo cerrado? ¿No sería lo mismo usar $(a,b)$ ya que la contribución a la integral de los extremos $a$ y $b$ es cero, ya que los puntos no tienen ancho?

Answer 1

Además de los hechos mencionados en los comentarios debajo de la pregunta, hay que tener en cuenta que las sumas de Riemann utilizan los puntos finales. (Si estuviéramos tratando con integrales de Lebesgue en lugar de integrales de Riemann, entonces no se prestaría atención a los puntos finales.)

Answer 2

Puedes llevarlo más lejos y eliminar cualquier conjunto de medida 0 del intervalo (o más bien un subintervalo en el que la función sea totalmente positiva o totalmente negativa). Eso preserva la semántica de la integral, pero no quedaría claro cómo el procedimiento lo logra. La verdadera razón por la que es un intervalo cerrado se reduce a la topología, siendo capaz de tratar la función como una función continua desde el intervalo, como un camino dirigido, hacia la curva. Verás esto si observas cómo se utilizan y se definen los caminos y se establecen de forma abstracta. Por lo tanto, la diferencia es un homeomorfismo del espacio que utiliza todo el espacio.