Teorema sobre el comportamiento real de funciones continuas en los enteros

Question

He intentado (y probar) para demostrar que $\sin (\log n)$ no tiene un límite en el $\infty$. Sé que es suficiente para demostrar que una larga de $\log n$ enfoques, modulo $2\pi$, arbitrariamente cerca de 2 valores distintos $\alpha, \beta$ (que $\sin \alpha \neq \sin \beta$), el cual es mucho más débiles de la declaración de "$\ \frac{\log n}{2\pi}$ es equidistributed modulo $1$" (que incluso es falso...).

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo demostrar mi caso particular?

2. Hay una teoría general de límite de $f \circ g (n)$ donde $f$ es un periódico función continua y $g$ es continua, (posiblemente monótona creciente) de la función divergentes a $\infty$$\infty$?

3. ¿Qué es una buena fuente de información acerca de equidistribución?

Answer 1

$\sin(\log(k^m)) = \sin(m\;\log(k))$ es un subsequence de la forma $\sin(m\alpha)$ y puede ser más fácil trabajar con. Los valores de $\alpha$ cuando la secuencia de $\sin(m\alpha)$ es convergente tiene que ser bastante raro.