Demostrar que para cada posición entero $n$ que
$$ \sum_{k=0}^n k4^k = \frac 49((3n-1)4^n + 1) $$
Prueba: Supongamos $P(n)$ denotar la declaración anterior.
Caso Base: $n=1$ : tenga en cuenta que $$ \sum_{k=1}^1 k4^k = \frac 49((3(1)-1)4^{(1)} + 1) $$
$\frac 49((3(1)-1)4^{(1)} + 1) = \frac49((2)4+1) = \frac49(8+1) = \frac 49(9) = 4$
$k4^k = (1)4^{(1)} = 4$
Entonces, P(1) posea.
Inductivo Paso: Vamos A $s\ge1$. Suponga que P(s), por lo que
$$ \sum_{k=1}^s k4^k = \frac 49((3s-1)4^s + 1) $$
Nota
$$ \sum_{k=1}^{s+1} k4^k = \sum_{k=1}^{s} k4^k + (s+1)4^{s+1} $$
y por hipótesis inductiva:
**
$$ \frac 49((3s-1)4^s + 1) + (s+1)4^{s+1} $$ **
Me temo que estoy atascado después de este punto. Sé que mi extremo debe ser:
$$ \sum_{k=1}^{s+1} k4^k = \frac 49((3(s+1)-1)4^{s+1} + 1) $$
pero no sé cómo llegar desde los asteriscos a la anterior. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
