funciones holomorfa inyectiva

Question

¿Si tengo una limitada, subconjunto conectado, abra el plano complejo, y una función holomorfa en él, continua en su cierre e inyectiva en su límite, es mi función necesariamente inyectiva?

Parece que no es cierto para las regiones conectadas arbitrarias. ¿Es cierto para las regiones simplemente conectadas?

Answer 1

No. Por ejemplo, $f(z)=z+1/z$, su dominio dado por $r<|z|<R$ con $r<1<R$, $rR\neq1$, a continuación, el límite de los círculos se asignan injectively a dos confocal de puntos suspensivos, pero $f(i)=f(-i)=0$.

edit: Si la región está simplemente conectado y delimitada por un Jordania curva, a continuación, $f$ debe ser inyectiva: La imagen (en $f$) de la frontera es una de la curva de Jordan, por lo tanto la liquidación número de la imagen de la curva alrededor de cualquier punto es $1$ (si el punto está en el interior) o $0$ (si fuera). El argumento de principio, el número de preimages de cualquier punto de la liquidación número, por lo tanto $f$ es inyectiva.