Dos preguntas sobre las medidas de producto

Question

¿Sabes donde encontrar las referencias en las siguientes preguntas (sospecho que son bien conocidos)?

1) El producto $\sigma$-álgebra se define para ser el más pequeño $\sigma$-álgebra que contiene todos los "medibles rectángulos." Es posible la escritura de cada elemento en el producto $\sigma$-álgebra como una secuencia de conteo, los sindicatos y las intersecciones de la medibles rectángulos? (Sospecho que la respuesta es no, pero no puedo pensar en una buena razón por qué).

(Más precisamente, dadas dos $\sigma$-álgebras $\mathcal{A}$$\mathcal{B}$, es posible arbitrariamente un elemento de $\mathcal{A}\times \mathcal{B}$ $\bigcup_{i_{1}=1}^{\infty}\bigcap_{i_{2}=1}^{\infty}\cdots\bigcap_{i_{n}}^{\infty}A_{i_{1},\ldots,i_{n}}\times B_{i_{1},\ldots,i_{n}}$ algunos $n$ y todos los $A_{i_{1},\ldots,i_{n}}\in\mathcal{A},\ B_{i_{1},\ldots,i_{n}}\in\mathcal{B}$?)

2) Dadas dos independientes $\sigma$-álgebras $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ (con respecto a una medida $\mu$), ¿por qué no es posible describir la medida de $\mu$ $\sigma(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})$ como producto de medida $\mathcal{A}\times \mathcal{B}$ (donde se podría definir la medida de un rectángulo $A\times B$$A\in\mathcal{A}$$B\in\mathcal{B}$$\mu(A\cap B)=\mu(A)\mu(B)$)?

De nuevo, tiene sentido que hay muchas maneras de construir independientes $\sigma$-álgebras de los productos, pero me siento como que no entiendo mucho si no puedo distinguir entre los dos.

Answer 1

Considerar el conjunto de Cantor. Es compacto y por lo tanto medibles. Que $\mathcal{A}$ indican los intervalos de medio abierto (abierto cerrado, izquierda derecha), junto con el conjunto nulo. Entonces $\mathcal{A}$ es un álgebra de conjuntos. $\sigma(\mathcal{A})$ es el conjuntos de Borel.

Sin embargo, el conjunto de Cantor es totalmente desconectado e incontables. No es un contable intersección o unión de elementos de $\mathcal{A}$. La aparición de $\sigma(\mathcal{A})$ $\mathcal{A}$ es sutil.

Considerar un conjunto de Cantor construyó a lo largo de la línea $y=x$ $[0,1]^2$.

Answer 2

1) sin duda no es una secuencia finita . Usted puede pensar en $\sigma(\mathcal{A})$ como el cierre de $\mathcal{A}$ bajo tomar contables uniones e intersecciones contables. Para ver esto, indica que este cierre $C(\mathcal{A})$. Esto sin duda forma una $\sigma$-álgebra y por lo tanto por definición $\sigma(\mathcal{A}) \subseteq C(\mathcal{A})$; pero cualquier $\sigma$-álgebra que contiene $\mathcal{A}$ debe contener todos los conjuntos obtenidos por contables uniones e intersecciones de elementos de $\mathcal{A}$ y así $C(\mathcal{A}) \subseteq \sigma(\mathcal{A})$.

2) ¿Qué te hace pensar que $\sigma(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$el % es generado por rectángulos?