Aprovecho $N$ muestras de una completamente especificado, discreto y finito uniforme variable aleatoria $X$, con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma_X^2$. Quiero encontrar la probabilidad de que el error absoluto de la empíricos media de $\bar{\mu}$ de la $N$ de muestras es mayor que el suministrado $\varepsilon>0$. Puedo usar la desigualdad de Chebyshev para acotar esta probabilidad: $$P(|\mu - \bar{\mu}|>\varepsilon)\leq\frac{\sigma_X^2}{N\varepsilon^2}.$$ sin Embargo, la simulación de Monte Carlo muestra esta obligado a ser muy flojo. Hay una estrecha obligado para esta distribución específica?
Respuesta
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Si usted sabe que la variable aleatoria es acotado, entonces usted sabe mucho acerca de la variable aleatoria y la de Chebyshev y la desigualdad de Markov no va a ser apretado en general.
Una mejor desigualdad es el Hoeffding la desigualdad (considerar el caso general, y no el binomio de la versión). Esto toma en cuenta de manera implícita que tiene todos los momentos de orden superior (ya que la RV es finita finita de apoyo), pero es agradable, ya que no necesita ningún tipo de información de soporte y dice que vaya a su media exponencialmente rápido.
Por ejemplo, si la RV está delimitada en $[-1,1]$ (tenga en cuenta que no han discretos), entonces usted puede decir lo siguiente para $\epsilon>0$
$$ \mathbb{P}(|\mu - \bar{\mu}| \geq \epsilon) \leq 2 \exp\bigg(-\frac{n\epsilon^2}{2}\bigg) $$
No creo que usted podría conseguir mucho mejor al tratar de la figura en el discreto conocimiento debido a que todos los valores estarán en los extremos que causan mayor varianza (en otras palabras, el peor de los casos, son probablemente los casos discretos).
