La duplicación del cubo con la ayuda de una parábola

Question

Buscando en la intersección de resumen de álgebra y geometría, es bien sabido que es imposible duplicar el cubo con regla y compás, ya que $\sqrt[3]{2}$ no es edificable. Sin embargo, he leído que si uno se da una parábola en $\mathbb{R}^2$, de hecho es posible doblar el cubo. Por curiosidad, ¿cómo se hace?

Una cosa que he notado que, dada una parábola $y=(1/2)x^2$, entonces el círculo centrado en $(a,1)$ se cumple la parábola en $2\sqrt[3]{a}$ como la coordenada x de la intersección, lo que implica que podemos encontrar $\sqrt[3]{a}$. Es posible, entonces, encontrar $\sqrt[3]{2}$ $\mathbb{R}^2$ si tenemos cualquier parábola?

Answer 1

El cálculo que se hizo está muy cerca de la prueba que usted busca. Dada una parábola, no es difícil construir primero su eje de simetría, y, a continuación, el foco y la directriz. En particular, podemos construir los ejes de forma que la parábola tiene por ecuación de la forma $y=ax^2$. Podemos construir $a$ desde el foco está a la distancia de $1/(4a)$ desde el vértice.

Ahora, la construcción del círculo con el centro $(a^2,1/(2a))$ y que pasa por el origen. Esto cumple con la parábola en el punto con $x$-coordinar una raíz de la ecuación $$(x-a^2)^2 + (ax^2-1/(2a))^2=a^4 +1/(4a^2)$$ La ecuación se simplifica a $a^2x^4 -2a^2x=0$. Las raíces se $0$$\sqrt[3]{2}$.