Es una forma cerrada para $$\sum_{i=1}^n{F_i^k}$$ (donde $F_i$ $i^{th}$ Fibonacci número y $k$ es constante) conocido?
Respuesta
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De acuerdo a Wikipedia, tenemos las siguientes: $$\sum_{i=1}^n F_i=F_{n+2}-1$$ $$\sum_{i=1}^n F_i^2=F_nF_{n+1}$$
Para la suma de potencias superiores de los números de Fibonacci, mira esta entrada de blog.
Una posible inuition detrás de estas fórmulas es la fórmula de Binet: $$F_n=\frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi^n-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n\right)$$ Entonces, para cualquier constante $k$, podemos utilizar el binomio de expansión para conseguir un montón de términos que tienen la forma $a\cdot b^n$ y podemos encontrar la suma de $\sum_{i=1}^n a\cdot b^i$ mediante la suma de la serie geométrica de la fórmula. Voy a aplicar esto a la $k=1$ caso: $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi^i-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^i\right)$$ Traer el $\frac{1}{\sqrt 5}$ fuera de la sumation: $$\frac{1}{\sqrt 5}\sum_{i=1}^n \left(\phi^i-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^i\right)$$ Distribuir la suma sobre los términos: $$\frac{1}{\sqrt 5}\left(\sum_{i=1}^n\phi^i-\sum_{i=1}^n\left(-\frac{1}{\phi}\right)^i\right)$$ Uso de la serie geométrica de la fórmula: $$\frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi\frac{\phi^n-1}{\phi-1}-\frac{1}{\phi}\frac{\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n-1}{\frac{1}{\phi}+1}\right)$$ Utilizar identidades acerca de $\phi$: $$\frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi\frac{\phi^n-1}{\frac{1}{\phi}}-\frac{1}{\phi}\frac{\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n-1}{\phi}\right)$$ Simplificar: $$\frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi^{n+2}-\phi^2-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^{n+2}+\left(-\frac{1}{\phi}\right)^2\right)$$ Tenga en cuenta que $\left(-\frac{1}{\phi}\right)^2-\phi^2=-\sqrt 5$: $$\frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi^{n+2}-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^{n+2}-\sqrt 5\right)$$ Parcialmente distribuir el $\frac{1}{\sqrt 5}$: $$\frac{1}{\sqrt 5}\left(\phi^{n+2}-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^{n+2}\right)-\frac{1}{\sqrt 5}\cdot \sqrt 5$$ El uso de la Fórmula de Binet y simplificar: $$F_{n+2}-1$$ Como se puede ver, este método es muy engorroso, así que probablemente sea poco práctico para muy altas potencias.
