Si me acuerdo de mi análisis funcional correctamente (sugerencia: yo probablemente no), al considerar los espacios de Banach nos puede trabajar con hasta 3 opciones distintas de la topología en un momento: fuerte, débil y débil-*. (Algunos de estos coinciden, creo que, cuando el espacio es reflexivo o de Hilbert.)
Al menos ingenuamente, parece que la categoría de espacios topológicos es insuficiente para describir estos objetos, ya que cada objeto lleva insuficiente "datos" (es decir, sólo una opción de topología en lugar de 3).
Hay una categoría de la teoría de la forma de pensar acerca de los espacios de Banach que es independiente de cual de las tres topologías, fuerte, débil, débil-*, se puede trabajar con?
Mi instinto de inclinación es que la respuesta es no, porque no puedo pensar apropiado morfismos para tal categoría -- tendrían que ser continua con respecto a todos los 3 diferentes topologías, mientras que yo creo que uno estaría interesado en una función que es continua con respecto a cualquiera de ellos.
Que daría lugar a tres clases diferentes de morfismos, lo que llevaría a un objeto relacionado con un género en particular que ha categorías como un caso especial), pero, sin embargo, diferentes.
Nota: yo habría esperado a estas preguntas (1)(2) para contener la respuesta, pero no por el motivo que sea. También nLab la página parece indicar que la categoría de la teoría aplicada a los espacios de Banach es menos simple (algo corto versus delimitada lineal de los mapas y de la unidad de bolas), pero no parece dar respuesta a mi pregunta acerca de la elección de la topología (la frase "fuerte operador topología" se encuentra sólo una vez en la página, y la palabra "débil" no tiene ninguna pega a todos).
