número de todos los mapas inconstantes f de A a A

Question

Dejemos que $ A=\{1, 2, 3,..., n\}$ . Encuentra el número de todos los mapas no constantes $f: A \rightarrow A$ para lo cual $f(k) \le f(k + 1)$ y $f(k) = f(f(k + 1))$ para $k = 1, \dots, n-1$ ..

Answer 1

Sugerencia: Si $f(k+1)>k$ para algunos $k$ entonces $f(k)\le f(k+1)\le \cdots\le f(f(k+1))$ pero como el último término es igual al primero todas las desigualdades son igualdades, por lo que $f(k)=f(k+1)$ .

Answer 2

Empieza con un caso sencillo para ver qué pasa. Si $n=2$ para que $A = \{1,2\}$ , entonces sólo hay dos mapas no constantes:

• $f(1) = 2, f(2) = 1$
• $g(1) = 1, g(2) = 2$

pero la primera no puede funcionar porque rompe la regla $f(k) \leq f(k+1)$ . En cuanto a $g$ vemos que $g(1) = 1$ pero $g(g(2)) = g(2) = 2$ Por lo tanto, se rompe la segunda regla.

Así que no hay mapas que satisfagan las condiciones necesarias para $n=2$ . Para $n=3$ Hay más mapas, pero si no estás seguro de lo que está pasando es bueno trabajar estas cosas para tener una idea.

Pista: dibuja dos columnas para A, así

$1 \qquad 1$

$2 \qquad 2$

$3 \qquad 3$

e indicar el mapa dibujando flechas desde la columna de la izquierda hacia la derecha. ¿Puedes describir una regla para que las flechas coincidan con la primera condición ($f(k) \leq f(k+1))? ¿Y la segunda condición?