Encontrar el máximo de una función en $ \Bbb{S}^{7} $ .

Question

Estoy tratando de encontrar el máximo de la función $$2 a^2 h+\sqrt{3} a d f+\sqrt{3} a e g+2 b^2 h-\sqrt{3} b d g+\sqrt{3} b e f\\+2 c^2 h+\sqrt{3} c d^2+\sqrt{3} c e^2-\sqrt{3} c f^2-\sqrt{3} c g^2\\-d^2 h-e^2 h-f^2 h-g^2 h-2 h^3$$ en la esfera $$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2=1 \text{.}$$ Sospecho que es $2$ pero no puedo encontrar una prueba. Los multiplicadores de Lagrange no funcionan, ya que las ecuaciones resultantes no tienen una solución analítica.

El valor $2$ se alcanza para $h=-1$ . Mi idea actual es que los términos de la forma $x^2y$ no puede ser mayor que $\frac{2}{3\sqrt{3}}$ y términos de la forma $xyz$ no puede ser mayor que $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ pero no estoy seguro de que esto ayude.

También me conformaría con un límite ligeramente superior a $2$ .

Información adicional: La función es proporcional a $\sum_{ijk=1}^8 d_{ijk}p^i p^j p^k$ (la restricción es simplemente $\sum_i (p^i)^2 = 1$ ), donde $ \tau_i\tau_j = -\frac{2}{3}\delta_{ij} +(f_{ijk}-i\, d_{ijk})\tau_k$ es válido para los generadores $\tau_i$ de $SU(3)$ con $[\tau_i,\tau_j]=f_{ijk} \tau_k$ y la condición de normalización $\mathrm{Tr}(\tau_i\tau_j) = -2\delta_{ij}$ se impone.

Answer 1

Dejemos que $$a=p\cos\chi,\, b=p\sin\chi\\ d=m\cos\phi,\,e=m\sin\phi\\ f=k\cos\theta,\,g=k\sin\theta\\ q^2=c^2+q^2$$ A continuación, sustituya $h^3$ por $h(1-p^2-c^2-m^2-k^2)$ $$\text{Maximise }h\left[4p^2+4c^2+m^2+k^2-2\right]+\sqrt{3}pmk\cos(\chi-\phi+\theta)+\sqrt{3}c(m^2-k^2)$$ Que el ángulo sea cero, $m=n\cos\alpha,k=n\sin\alpha$ $$\text{Maximise } h[4p^2+4c^2+n^2-2]+\sqrt{\frac34}\left[pn^2\sin2\alpha+2cn^2\cos2\alpha\right]$$ Dejemos que $p=q\cos\beta,c=q\sin\beta$ , $$\text{Maximise }h[4q^2+n^2-2]+\sqrt{\frac34}qn^2[\sin2\alpha\cos\beta+2\cos2\alpha\sin\beta]$$ Dejemos que $\alpha=0,\beta=\pi/2$ $$\text{Maximize }h[4q^2+n^2-2]+\sqrt{3}qn^2\\ q^2+n^2+h^2=1$$ Utilizar los multiplicadores de Lagrange, he encontrado que $n=0$ en cuyo caso maximizamos $h(2-4h^2)$ que se maximiza en $h=-1$ o bien $h=0$ en cuyo caso maximizamos $\sqrt{3}(1-q^2)q$ cuyo máximo es $2/3$ .

Answer 2

( Actualización: Acabo de darme cuenta de que esto es muy similar a la solución anterior de @Michael).

Su expresión ( $=:\Phi_0$ ) puede simplificarse utilizando las siguientes medidas: $$a=r\cos\alpha,\quad b=r\sin\alpha,\quad d=s\cos\beta,\quad e=s\sin\beta,\quad f=t\cos\gamma,\quad g=t\sin\gamma\ .$$ Tras algunos cálculos, el resultado es $$\Phi_1=2c^2h+\sqrt{3}c(s^2-t^2)-h(2h^2-2r^2+s^2+t^2)+\sqrt{3}rst\cos(\alpha-\beta+\gamma)\ .$$ Por lo tanto, nos queda la tarea de maximizar $$\Phi_2:=2c^2h+\sqrt{3}c(s^2-t^2)-h(2h^2-2r^2+s^2+t^2)+\sqrt{3}rst$$ bajo las restricciones $$r\geq0, \quad s\geq0,\quad t\geq0,\quad r^2+s^2+t^2+c^2+h^2=1\ .$$ Utilizando la restricción principal podemos reescribir $\Phi_2$ como $$\Phi_3=-h^3+h\bigl(-1+3(c^2+r^2)\bigr)+\sqrt{3}\bigl(rst+c(s^2-t^2)\bigr)\ .$$ Esto sugiere escribir $$c=x\cos\phi,\quad r=x\sin\phi\ ,$$ que luego lleva a $$\Phi_4=-h(1+h^2-3x^2)+\sqrt{3}x\bigl((s^2-t^2) \cos\phi+st\sin\phi\bigr)\ ,\tag{1}$$ por lo que las restricciones ahora son $$x\geq0, \quad s\geq0,\quad t\geq0,\quad x^2+s^2+t^2+h^2=1\ .$$ Maximizar $(1)$ en $\phi$ nos lleva a $$\Phi_5=-h(1+h^2-3x^2)+\sqrt{3}x\sqrt{(s^2-t^2)^2+s^2 t^2}\ .$$ Para una suma determinada $s^2+t^2$ la raíz cuadrada del lado derecho es máxima cuando una de las variables es $=0$ (¡comprueba esto!), para que lleguemos a $$\Phi_6=-h(1+h^2-3x^2)+\sqrt{3}x s^2\tag{2}$$ bajo las restricciones $$x\geq0,\quad s\geq0,\quad x^2+s^2+h^2=1\ .$$ Eliminación de $s^2$ de $(2)$ utilizando la restricción nos deja con $$\Phi_7=-h(1+h^2-3x^2)+\sqrt{3}x(1-h^2-x^2)\qquad(-1\leq h\leq 1, \ 0\leq x\leq\sqrt{1-h^2})\ .$$ Esto podría analizarse más a fondo, pero un gráfico en 3D de $\Phi_7$ en función de $h$ y $x$ revela que $\Phi_7$ efectivamente toma el valor máximo $2$ cuando $h=-1$ .

Answer 3

Esta es una versión muy revisada de mi respuesta. Si no encuentra el resultado numérico de

Digits := 30; Optimization:-

Maximize(2*a^2*h+sqrt(3)*a*d*f+sqrt(3)*a*e*g+2*b^2*h-

sqrt(3)*b*d*g+sqrt(3)*b*e*f+2*c^2*h+sqrt(3)*c*d^2+sqrt(3)*c*e^2-

sqrt(3)*c*f^2-

sqrt(3)*c*g^2-d^2*h-e^2*h-f^2*h-g^2*h-2*h^3, 

{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2 = 1}, iterationlimit = 20000);

$$[ 2.00000000000000000000010782291,[a=-{ 1.17582137069912857657597584160\times 10^{-13}},b=-{ 2.12472091087192525439832958550\times 10^{-13}},c={ 1.21573224309159502484175183383\times 10^{-13}},d={ 3.18534123437506634022623289415\times 10^{-13}},e=-{ 4.42204035148386716073315764490\times 10^{-13}},f=-{ 3.51707948638498507568055046276\times 10^{-13}},g={ 8.62997853146968968938221697300\times 10^{-14}},h=- 1.00000000000000000000001792371]] $$ sea satisfactoria, entonces el siguiente comando de Maple

with(Student[MultivariateCalculus]): 

LagrangeMultipliers(2*a^2*h+sqrt(3)*a*d*f+sqrt(3)*a*e*g+2*b^2*h-

sqrt(3)*b*d*g+sqrt(3)*b*e*f+2*c^2*h+sqrt(3)*c*d^2+sqrt(3)*c*e^2-

sqrt(3)*c*f^2-sqrt(3)*c*g^2-d^2*h-e^2*h-f^2*h-g^2*h-2*h^3, 

[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2-1], [a, b, c, d, e, f, g, h]);

hace el trabajo a través de los multiplicadores de Lagrange, dando como resultado 158 puntos y líneas críticas. El resultado largo se puede ver aquí .