Grupo abeliano finito

Question

Se trata de un problema (tal vez sencillo) de Teoría de Grupos, pero como soy principiante, soy incapaz de dar siquiera un primer paso adelante.

Sea $G$ sea un grupo finito cuyo orden no sea divisible por $3$ Supongamos que $(ab)^3=a^3b^3\ \ $ $\forall\ \ a,b\in G$ . Debo demostrar que $G$ debe ser un grupo abeliano.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Pista:

$(ab)^3=a^3b^3$

$\Rightarrow (ab)(ab)(ab)=aaabbb$

$\Rightarrow a(ba)(ba)b=a(aa)(bb)b$

Answer 2

$ababab = (ab)^3 = a^3b^3 = aaabbb$

$\implies a^{-1}abababb^{-1} = a^{-1}aaabbbb^{-1}$

$\implies baba = aabb$

Utiliza ahora el hecho de que el orden del grupo no es divisible por 3.

Answer 3

La condición dada implica que $ \phi : x \to x^3 $ es un endomorfismo de $ G $ . Por otra parte, $ \phi(x) = x^3 = e $ implica que $ x = e $ ya que el grupo no puede tener un elemento de orden 3, por lo que $ \phi $ tiene núcleo trivial, y por tanto es un automorfismo.

$ \mu(x) = g x g^{-1} $ es también un automorfismo para cualquier $ g $ lo que significa que

$$ g x^3 g^{-1} = \mu(x^3) = \mu(x)^3 = \phi(\mu(x)) = \phi(g x g^{-1}) = g^3 x^3 g^{-3} $$

o $ x^3 g^2 = g^2 x^3 $ de modo que cualquier cuadrado conmuta con cualquier cubo y, por tanto, cualquier elemento del grupo $ G $ como $ \phi $ es suryectiva. Ahora, tenemos

$$ (xy)(xy)^2 = (xy)^3 = x^3 y^3 = x x^2 y y^2 = (xy)(x^2 y^2) $$

y la cancelación da como resultado que $ yx = xy $ según se desee.