Problema al mostrar $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{12x^3y^5+4x^4y^4}{x^6+4y^8}=0$ utilizando coordenadas polares

Question

Estoy tratando de mostrar que %#% $ #%

He utilizado coordenadas polares pero cuando hago esto me sale la posibilidad de $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{12x^3y^5+4x^4y^4}{x^6+4y^8}=0$si$\frac{0}{0}\cos(\theta)\to 0$. Así debe ser que necesito a algún tipo de encuadernado de este límite. Pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Sugerencia: $u^2 + 4v^2 = (u-2v)^2 + 4uv \ge 4uv$, así:

$$x^6 + 4y^8 = (x^3)^2 + 4(y^4)^2 \ge 4x^3 y^4$$

Edición:

He señalado en un comentario que un argumento de simetría.

Un enfoque un poco mejor podría ser como sigue:

$$\left| \frac{12x^3 y^5 + 4 x^4y^4}{x^6 + 4y^8} \right| \le 4\frac{3|x|^3 |y|^5 + x^4y^4}{x^6 + 4y^8}$$

Ahora utilizamos $x^6 + 4y^8 \ge 4|x|^3 y^4$ a ver que el lado derecho $\to 0$.

Answer 2

Si queremos utilizar coordenadas polares $(r,\theta)$, entonces podemos escribir

$$\begin{align} \frac{12x^3y^5+4x^4y^4}{x^6+4y^8}&=r^2\left(\frac{12\cos^3(\theta)\sin^5(\theta)+4\cos^4(\theta)\sin^4(\theta)}{\cos^6(\theta)+4r^2\sin^8(\theta)}\right)\\\\ &=r\left(3\sin(\theta)+\cos(\theta)\right)\left(\frac{4r\cos^3(\theta)\sin^4(\theta)}{\cos^6(\theta)+4r^2\sin^8(\theta)}\right)\tag1 \end{align}$$

Deje $g(r,\theta)=\frac{4r\cos^3(\theta)\sin^4(\theta)}{\cos^6(\theta)+4r^2\sin^8(\theta)}$. Denotar $\sin(\theta)$$s$$\cos(\theta)$$c$.

Vamos a ver $g(r,\theta)$ como una función de la $\theta\in \mathbb{R}$, que es diferenciable y $2\pi$-periódico. Por lo tanto, los extremos se producen en los puntos para los que $\frac{\partial g(r,\theta)}{\partial \theta}=0$.

Luego, tomando la derivada parcial con respecto a $\theta$, y , tenemos

$$\begin{align} \frac{\partial g(r,\theta)}{\partial \theta}&=4rs^3c^2\,\left(\frac{(4c^2-3s^2)(c^6+4r^2s^8)-s^2c^2(32r^2s^6-6c^4)}{(c^6+4r^2s^8)^2}\right)\\\\ &= 4rs^3c^2\,\left(\frac{(3+c^2)(c^6-4r^2s^8)}{(c^6+4r^2s^8)^2}\right)\tag 2 \end{align}$$

Vemos que $\frac{\partial g(r,\theta)}{\partial \theta}=0$ al $\sin(\theta)=0$ o $\cos(\theta)=0$ o $\cos^6(\theta)=4r^2\sin^8(\theta)$.

Al $\sin(\theta)=0$ o $\cos(\theta)=0$, $g(r,\theta)=0$. Al $\cos(\theta)^6=4r^2\sin^8(\theta)$,

$$g(r,\theta)=\text{sgn}(\cos(\theta))\tag 3$$

Por último, el uso de $(3)$ $(1)$ revela

$$\left|\frac{12x^3y^5+4x^4y^4}{x^6+4y^8}\right|\le r|3\sin(\theta)+\cos(\theta)|$$

con lo cual, aplicando el teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{12x^3y^5+4x^4y^4}{x^6+4y^8}=0}$$