¿Lados de un triángulo (raíces cuadradas)?

Question

Este es el ejercicio: que $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Probar que las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. $a,b,c$ son lados de un triángulo.
2. $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ son lados de un triángulo agudo.

Realmente agradeceria su ayuda en este ejercicio. :)

Answer 1

Sea $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ los lados de un triángulo no aguda. Hay un ángulo $\theta$ en el triángulo de al menos 90 grados. Sin pérdida de generalidad que sea opuesta al lado de longitud $\sqrt{c}$. Entonces tenemos, de la ley de cosenos, $c=a+b-2\sqrt{ab}\cos\theta$. Sabemos que $\cos\theta\le 0$. Por lo tanto, $c\ge a+b$, lo que implica $a,b,c$ no puede ser un triángulo.

Answer 2

Sugerencia: Suponga que $a,b,c$ son los lados de un triángulo. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $c\ge a$$c\ge b$.

A continuación, $a,b,c$ son los lados de un triángulo si y sólo si $a+b\ge c$.

En primer lugar mostramos que $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ son los lados de un triángulo. Tenemos que mostrar que $\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt \sqrt{c}$. Esto es fácil, porque si $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{c}$, entonces, el cuadrado, obtenemos $a+2\sqrt{ab}+b\le c$, lo que implica que $a+b\lt c$.

Tenga en cuenta que $a+b\gt c$ implica que el $(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 \gt (\sqrt{c})^2$. Y esta es precisamente la condición para que el mayor ángulo de un triángulo con lados $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$, $\sqrt{c}$ a menos que un ángulo recto. Para más detalles, utilice el Coseno de la Ley.

Salimos de la prueba en la otra dirección.